마스터 정리를 사용할 때 가정의 유효성에 대한 엄격한 증거

마스터 정리는 특정 종류의 재발 을 해결하기 위한 아름다운 도구입니다 . 그러나 우리는 종종 그것을 적용 할 때 필수적인 부분을 좋아합니다. 예를 들어 Mergesort를 분석하는 동안

$\qquad T(n) = T\left(\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor\right) + T\left(\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil\right) + f(n)$

에

$\qquad T'(n) = 2 T'\left(\frac{n}{2}\right) + f(n)$

만 고려하십시오 $n=2^k$. 우리는이 단계가 유효한지 ourselved 보장 -입니다 $T \in \Theta(T')$ 때문에 - $T$ "잘"동작합니다. 일반적으로 우리가 가정 $n=b^k$ 용 $b$ 공통 분모.

vicious 를 사용하여이 단순화를 허용하지 않는 반복을 쉽게 구성 할 수 $f$있습니다. 예를 들어, T에 대한 위의 재발$T\,$/$\,T'$와 T '

$\qquad f(n) = \begin{cases} 1 &, n=2^k \\ n &, \text{else} \end{cases}$

일반적인 방법으로 마스터 정리를 사용하여 $\Theta(n)$ 을 산출 하지만 처럼 자라는 하위 시퀀스가 ​​분명히 $\Theta(n \log n)$있습니다. 더 고안된 또 다른 예는 여기 를 참조 하십시오 .

어떻게 이것을 "멋지게"엄격하게 만들 수 있습니까? 나는 단 조성이 충분하다는 것을 확신하지만, 단순한 메르 소 르트 어 재발조차도 단조로운 것은 아닙니다. 주기적 구성 요소가 있습니다 (무증상으로 우세합니다). 를 조사하는 것으로 충분하고 , 마스터 정리가 작동하도록 $f$ 에 필요한 조건 은 무엇입니까?$f$

이 답변 전체에서 와 T 는 음이 아닌 것으로 가정 합니다. 우리의 증명은 일부 모노톤 g에 대해 f = Θ ( g ) 마다 작동합니다 . 여기에는 f = Θ ( n ) 인 Mergesort 예제 와 다항식 성장률 (또는 Θ $f$$T$$f = \Theta(g)$$g$$f=\Theta(n)$)이 포함됩니다.$\Theta(n^a \log^b n)$

가 단조 비 감소 인 경우를 먼저 고려해 봅시다 (나중에이 가정을 완화하겠습니다). 우리는 샘플 재발 집중 T ( N ) = T ( ⌊ N / 2 ⌋ ) + T ( ⌈ N / 2 ⌉ ) + F ( N ) . 이 재발에는 T ( 0 ) 와 T ( 1 )의 두 가지 기본 사례가 필요합니다 . 우리는 T ( 0 $f$

$$T(n) = T(\lfloor n/2 \rfloor) + T(\lceil n/2 \rceil) + f(n).$$ $T(0)$$T(1)$ , 우리는 나중에 휴식을 취합니다.$T(0) \leq T(1)$

나는 이 단조 비 감소 라고 주장한다 . 우리는 완전한 유도에 의해 T ( n + 1 ) ≥ T ( n ) 임을 증명합니다 . 이것은 n = 0에 대해 주어 지므로 n ≥ 1이 되도록하십시오 . 우리는 $T(n)$$T(n+1) \geq T(n)$$n = 0$$n \geq 1$ 이것은 T(2⌊ log 2 n⌋)≤T(n)≤T(2⌈ log 2 n⌋m)=Θ(

$$\begin{align*} T(n+1) &= T(\lfloor (n+1)/2 \rfloor) + T(\lceil (n+1)/2 \rceil) + f(n+1) \\ &\geq T(\lfloor n/2 \rfloor) + T(\lceil n/2 \rceil) + f(n) = T(n). \end{align*}$$ 따라서 T ( $$T(2^{\lfloor \log_2 n \rfloor}) \leq T(n) \leq T(2^{\lceil \log_2 n \rfloor}).$$ 완료했습니다. 2의 거듭 제곱에 대한 해가 T ( n ) = Θ ( n $T(2^m) = \Theta(T(2^{m+1}))$.$T(n) = \Theta(n^a \log^b n)$

이제 이라는 가정을 완화합시다 . 정확히 동일한 방식으로 정의 된 새로운 재발 T ' , T ' ( 0 ) = T ' ( 1 ) = min ( T ( 0 ) , T ( 1 ) ) 만 고려하십시오 . 우리는 T ' 를 유도함으로써 증명할 수 있습니다 . 유사하게, 우리는 새로운 재발 T ″ 만족 T ″$T(0) \leq T(1)$$T'$$T'(0) = T'(1) = \min(T(0),T(1))$$T'(n) \leq T(n)$$T''$ 그리고 T ( n ) ≤ T ″ ( n ) 입니다. 마스터 정리를 호출하면 T ' = Θ ( $T''(0) = T''(1) = \max(T(0),T(1))$$T(n) \leq T''(n)$ 및 T ' ' = Θ $T'=\Theta(h)$같은함수 h에 대해 h ) 이므로 T = Θ ( h ) 도 마찬가지입니다.$T''=\Theta(h)$$h$$T = \Theta(h)$

이제 가 모노톤 이라는 가정을 완화합시다 . 일부 모노톤 함수 g에 대해 f = Θ ( g ) 라고 가정합니다 . 따라서 C g ( N ) ≤ F ( N ) ≤ C g ( N ) 일부 C , C > 0 및 N 충분한. 우리는 단순성을 위해 , f 를 c g , C 로 대체함으로써 n , T ″ 라고 가정한다$f$$f = \Theta(g)$$g$$cg(n) \leq f(n) \leq Cg(n)$$c,C>0$$n$. 일반적인 경우는 이전 단락과 같이 처리 할 수 ​​있습니다. 다시 우리는 두 가지 재발 T '를 정의한다$n=0$$T',T''$$f$(각각). 다시 한 번 마스터 정리는 동일한 결과 (상수 배수까지)를 제공하며, 이는 원래의 되풀이를 2의 거듭 제곱으로 해결함으로써 얻을 수있는 결과와 동일합니다 (상수 배수까지).$cg,Cg$