DAG의 에지 라벨링 문제에 대한 정확한 알고리즘

도움이 필요한 일부 시스템 부분을 구현하고 있습니다. 따라서 도메인을 독립적으로 만들기 위해 그래프 문제로 표시하고 있습니다.

문제 : 방향성 비주기 그래프 가 주어집니다 . 일반성을 잃지 않으면 서 는 정확히 하나의 소스 정점 와 정확히 하나의 싱크 정점 가지고 있다고 가정합니다 . 하자 모든 방향 경로의 집합을 나타내는 에 에서 . 또한 정점 세트가 제공됩니다 . 문제는 음수가 아닌 정수 가중치를 의 모서리에 할당하는 것입니다 . 따라서 두 경로 는 동일한 정점 하위 집합을 포함하는 경우에만 동일한 가중치를 갖습니다. $G=(V,E)$ $G$ $s$ $t$ $P$ $s$ $t$ $G$ $R \subseteq V$ $G$ $P$ $R$ . 경로의 가중치는 가장자리의 가중치의 합계입니다. 의 경로 가중치 범위는 가능한 한 작아야합니다. $P$

현재 내 접근 방식은 효율적이지 않습니다. 나는 문학에 대한 언급이나 좋은 통찰력을 찾고 있습니다. 그렇지 않은 것도 감사합니다.

편집 : 이 문제에 대한 경도 증거가 있습니까? 컴팩트 넘버링이 항상 존재합니까?

— 사용자
소스

"P의 경로 가중치 범위가 최적이어야합니다." 가중치는 정수입니까? 음수 가중치가 허용됩니까? 최적은 "가능한 한 작은 범위"를 의미합니까, 아니면 다른 것을 의미합니까?

— Artem Kaznatcheev

질문을 편집했습니다. 귀하의 의견에 감사드립니다. 가중치는 음이 아닌 정수 여야하며 범위는 가능한 작아야합니다.

— user5153 2019 년

유효한 솔루션을 제시하는 간단한 전략은 R의 각 정점 v에 2의 다른 거듭 제곱을 할당하고,이 수를 모든 수신 모서리의 가중치로 v에 사용하고, 나머지 모든 모서리에 가중치 0을 할당하는 것입니다. 분명히 이것은 최적이 아닐 수도 있지만 최소한 필요한 범위의 상한을 제공합니다. R의 동일한 꼭짓점을 통해 서로 다른 가장자리를 만드는 것이 서로 다른 가중치를 가지거나 가장자리가 아닌 꼭짓점이있는 가중치를 만들어 문제를 단순화 할 수 있습니까?

— David Eppstein

BTW @DavidEppstein의 답변에 따르면 경로의 최대 총 중량은

입니다. 이것은 상수까지 엄격합니다. 예를 들어, 그래프

및

O (2^{| R |})

$O(2^{|R|})$

G = (V, E)

$G = (V, E)$

V = [n] \cup {s, t}

$V = [n] \cup \{s, t\}$

. 또한

이라고하자. 거기

다른 경로에서

, 각각의 경로는 음이 아닌 정수의 가중치를 갖기 때문에, 적어도 하나 개의 요구가 중량 적어도 갖는

E = {(i, j) : i < j} \cup {(s, 1), (n, t), (s, t)}

$E = \{(i, j): i<j\} \cup \{(s, 1), (n, t), (s, t)\}$

R = [n]

$R = [n]$

2^{n}

$2^n$

R

$R$

2^{n} - 1

$2^n -1$

— Sasho Nikolov

확실히, 나는 최악의 경우에 단단히 의미했습니다 (실제로이 의견의 첫 번째 버전에서 썼습니다). 아직 최적화 문제를 해결 한 사람이 없으므로 절대 한계를 먼저 고정시키는 것이 좋을 것이라고 생각했습니다.

— Sasho Nikolov

-6

문학 [다른 사람이 가지고있을 수도있다]에서이 문제에 대해 정확히 들어 보지 못했지만 "근처의 문제"로서 최소한의 스패닝 트리 가 문제를 해결하는 데 유용한 속성을 갖는 것 같습니다 . 예를 들어 소스 정점과 동기 정점에서 시작하여 최소 2 개의 스패닝 트리를 생성하고 접촉 할 때까지 바깥쪽으로 전파하는 등의 문제가 해결되거나 가까운 대답을 줄 수 있습니다. 누군가가 여기에 나를 던지기 전에 plz는 주어진 정점에서 시작하여 MST의 아이디어를 다소 확장하고 있음을 이해합니다 (일반적으로 전체 그래프에서 가장 짧은 가장자리에서 시작). 작동하지 않으면 이유가 궁금합니다.

— vzn
소스

죄송하지만이 질문에 대한 답변과 관련이 없습니다.

— David Eppstein

그가 무슨 말을하는지 더 잘 알고 있을까요? 명시된대로 당신에게 의미가 있습니까?

— vzn

그는 모서리에 가중치 를 할당 해야합니다. MST를 계산하면 어떻게 도움이됩니까?

— Nicholas Mancuso

그것을 읽었을 때, 그리고 다른 대답을 제안하지 않는 한, 문제는 두 부분으로 변환 될 수있는 것처럼 보였습니다. MST는 (2)에 유용 할 수 있습니다. 아니면 아닐 수도 있습니다! (예 : 1/2이 단단히 결합 됨)

— vzn

아니요. 최소 스패닝 트리는 무 방향 그래프에만 해당됩니다. 입력 그래프가 지시됩니다. 또한 최소 스패닝 트리는 표면적으로 가장 짧은 경로와 만 관련이 있습니다.

— Jeffε