알고리즘이없는 경우 시간 제한을 줄 수있는 결정 가능한 문제가 있습니까?

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문제를 해결하는 알고리즘이 없어도 입력 인스턴스의 길이 n의 함수로 시간 제한을 줄 수있는 결정 가능한 문제가 있습니까?

다음에 대해 생각하고 있었기 때문에이 질문에 도달했습니다.

재귀 적으로 열거 가능하지만 결정 불가능한 문제가 있다고 가정하십시오. 또한 문제의 "예"인스턴스라고 가정하십시오. 그런 다음 문제의 "예"-인스턴스를 식별하는 알고리즘이없는 경우, 우리는 n의 크기 n으로 시간 제한을 줄 수 있습니다. 그러한 시간 제한을 줄 수 있다면 문제를 결정할 수 있습니다. 제한 시간이 초과되면 "아니오"인스턴스라는 결론을 내립니다.

우리는 재귀 적으로 열거 가능하고 결정 불가능한 문제 ( "예"-인스턴스의 계산 시간)에 대한 시간을 줄 수 없기 때문에 결정 가능한 문제가 있고 시간 제한을 줄 수 없는지 궁금했습니다.

computability time-complexity

— 헤르만
소스

9

이러한 알고리즘에는 시간이 너무 짧습니다. 알고리즘을 실행하고 해당 알고리즘이 수행하는 단계 수를 반환합니다. 한편, 이해 또는 표현하기 쉬운 범위, 예를 들어 ackermann 함수를 제공하기 어려운 예를 구성하는 것은 쉽다.

— 코디

2

좀 더 정확해야합니다. (수학적) 기능에 대해 말하면 모든 Turing 기계의 작동 시간과 일치하는 기능이 있습니다 (사실 Turing 기계보다 더 많은 기능이 있습니다). 계산 가능한 함수 또는 이와 동등한 알고리즘에 대해 이야기하면 @cody가 대답을 제공합니다 .Turing 기계를 실행하여 문제를 결정하고 실행 시간을 계산하십시오.

— Alex ten Brink

8

@AlextenBrink은 : 사실, 얻을 최악의 경우를 입력 크기의 함수로 시간을 실행

당신을 위해 튜링 기계를 실행하는 데 필요한, 모든 크기의 가능한 입력

, 최대 가져 가라. 그러나 물론 이것은 또한 가능합니다.

n

$n$

n

$n$

— Jukka Suomela

8

개정안을 제안해도 될까요? 사소한 답변을 피하기 위해 "시간 제한을 줄 수 있습니다"라는 구를 " 크기 n의 모든 인스턴스에서 알고리즘을 실행하는 것보다 최악의 실행 시간에 대한 상한을 더 빠르게 계산할 수 있음"을 정의한다고 가정합니다 . 또는 "모든 인스턴스"는 "단일 인스턴스"여야합니다.

— Jeffε

1

인수는 시간 계산 함수가 총 계산 가능한 것에 달려 있습니다 . 이 작업을 수행 할 수 없다는 것은 잘 알려져 있지만, 이것이 귀하의 질문 인 경우 (즉, 전체 계산 가능한 함수 확장이없는 부분 계산 가능한 함수가있는 경우) 질문은 연구 수준이 아닙니다. 이런 종류의 질문을 할 수있는 곳에 대한 제안은 FAQ 를 참조하십시오 .

— Kaveh February

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$A$ $\mathsf{In}$

f (n) = max_{i \in I n (n)} t i m e (A (i)),

$f(n)=\max_{i\in \mathsf{In(n)}}~~ \mathsf{time}(A(i)),$

I n (n)

$\mathsf{In}(n)$

n

$n$

t i m e (A (i))

$\mathsf{time}(A(i))$

A

$A$

i

$i$

간결한 정의로 간단한 대수적 용어 (어떤 종류의 재귀도없이)를 사용한다면 대답은 '아니오'라고 생각할 수 있습니다. 결정될 수는 있지만 복잡성이 비 기본적입니다. 즉, 크기 n의 문제에 대해 알고리즘의 실행 시간을 제한하는 형식의 스택이 없습니다 . $2^{2^{2^{2^{\dots^n}}}}$

귀하의 질문을 올바르게 이해했으면합니다.

— 마르쿠스
소스

6

이것은 마커스와는 조금 다른 질문이지만,이 질문에 대해 어떻게 생각했는지에 대한 설명을 고려하면 찾고있는 것에 더 가깝습니다.

때로는 알고리즘을 제시하지 않고도 문제를 결정할 수 있음을 증명할 수 있습니다. 이러한 종류의 가장 유명한 예는 로버트슨과 시모어가 미성년자에 대한 작품인데, 이는 적절한 유한 한 금지 된 미성년자 목록이 있는지 확인함으로써 유전 그래프 속성이 다항식 시간으로 결정될 수 있음을 보여줍니다. 그들의 증거는 단지 금지 된 미성년자의 유한 목록이 존재한다는 것을 보여 주지만, 그 목록 을 찾기 위한 레시피는 제공하지 않습니다 .

나는이 분야의 전문가가 아니므로 금지 된 미성년자의 목록을 알지 못하고 다른 방법을 알지 못하기 때문에 알고리즘을 표시 할 수없는 유전 적 그래프 속성의 특정 예를 알지 못합니다. 문제를 해결하지만 그러한 예가 있다고 생각합니다. (그리고 우리는 세계에 최대 80 억 명의 사람들이 있고 최악의 경우 우리 모두에게 물어볼 수 있다는 것을 알고 있기 때문에 예제가 존재하는 경우 실행 시간을 제한 할 수 있습니다!)

한 가지 더 말 : 우리는 미성년자를 확인하는 것은에서 수행 될 수 있다는 것을 알고 있기 때문에 시간, 당신은 로버트슨 - 시모어 알고리즘에 의해 제공하는 모든 경우에, 우리가 주장 할 수 않는 의 "경계"가 를 실행 시간에. 그러나 나는 우리가 상수에 구속되지 않으면 이것이 일종의 부정 행위라고 주장 할 것입니다. $O(n^3)$ $O(n^3)$

— 티모시 차우
소스

2

그러나 명시 적으로 제외 된 미성년자 세트를 선택하면 알고리즘을 표시 할 수 있습니다. 연구되지 않은 유전 재산을 선택하는 것이 좋습니다. 그러나 이것은 조금 까다 롭습니다.

— Timothy Chow

2

그것은 당신의 요점과 상당히 유사하지만, 사소한 폐쇄 그래프 속성은 실제로 시간 research.nii.ac.jp/~k_keniti/quaddp1.pdf 에서 결정될 수 있습니다 .

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Emil Jeřábek

1

@ EmilJeřábek : 작은 접선 가족의 그래프가 1 차 속성을 만족하는지 선형 시간으로 할 수 있는지를 결정하는 더 접선 적으로 : arxiv.org/abs/1109.5036

— András Salamon

1

그런데 Kowarabayashi와 Wollan은 STOC 2011 논문 dsi.uniroma1.it/~wollan/PUBS/shorter_struct_web.pdf 에서 상수에 구속력 이 있으며 아직 완전히 기록되지 않은 추가 진행 상황을보고합니다. 그러나 나는이 논문에서 명백한 경계를 쉽게 추출 할 수 없다.

— András Salamon

2

이러한 예에서는 평면형 덮개가있는 그래프가 있습니다. 이상하게도, 우리는 목록을 거의 알고 있습니다 : 31 명의 금지 된 미성년자와 32 번째의 잠재적 미성년자가 있지만,이 마지막에 대해서는 평면 덮개가 있는지 여부에 관계없이 열려 있습니다. 따라서이 클래스의 그래프에는 알고리즘이 없습니다. 예를 들어 참조 : fi.muni.cz/~hlineny/papers/plcover20-gc.pdf

— 데니스에게

3

다른 관점을 추가하기 위해 모든 문제에 "내재적"복잡성이있는 것은 아니라는 점을 기억하십시오. 이는 아마도 Blum의 속도 향상 정리에서 가장 흥미롭고 무시되는 결과 일 것입니다.

본질적으로 정리에 따르면 원하는 속도 향상 g을 수정하면 항상 계산 문제 P를 찾을 수 있으므로 P를 해결하는 모든 프로그램에 대해 이전 프로그램보다 여전히 P를 해결하고 g 시간을 빠르게 실행하는 다른 프로그램이 있습니다.

따라서 이런 종류의 문제에 대해서는 시간을 할애 할 수 없습니다. 놀랍고도 수수께끼의 결과. 물론 P는 매우 큰 복잡성을 가지고 있습니다.

— 안드레아 아스 페르 티
소스

왜 P가 매우 복잡한가?

속도 향상 프로세스를 반복 할 수 있으므로 복잡성이 감소하는 무한 알고리즘 체인과 호환되어야합니다.

— Andrea Asperti

3

귀하의 질문에 대한 이론적 측면은 Markus가 처리합니다. 더 실질적으로, 귀하의 질문을 이해하는 흥미로운 방법은 다음과 같습니다. 우리가 시간 제한을 모르는 결정 가능한 문제가 있습니까?

대답은 예입니다. 예를 들어 문제의 YES 인스턴스에 대한 반 알고리즘과 NO 인스턴스에 대한 반 알고리즘이있을 수 있습니다. 이것은 문제의 결정 가능성을 제공하지만 시간 제한은 없습니다.

일반적인 예는 다음과 같습니다. 일부 대수학에서 모든 실제 동일성을 증명할 수있는 공리 시스템이 있다고 가정합니다. 또한, 허위 신원은 항상 유한 한 구조로 목격된다는 것을 알고 있습니다.

그럼 당신은 신원 여부를 결정하기 위해 다음의 알고리즘이 당신의 증거 찾을 때 병렬 증거와 유한 구조 및 정지에 열거 : 사실은 또는 것을 목격 구조 거짓입니다. 와 관련하여 교정 및 유한 구조의 크기를 제한 할 수 없다면 올바른 알고리즘을 제공하지만 복잡도는 제한되지 않습니다 . $I$ $I$ $I$ $I$

이것의 예는 LLW (affine linear logic)입니다. 이제는 타워 완성으로 알려져 있습니다 [1]. .

참고 문헌 :

[1] VASS, MELL 및 확장 분기를위한 비 원소 복잡성. Ranko Lazic과 Sylvain Schmitz. CSL-LICS 2014

[2] 다양한 선형 논리 조각에 대한 유한 모델 속성. Yves Lafont, J. Symb. 논리. 1997

— 데니스
소스

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다른 사람들이 말했듯이 질문은 사소한 답변을 피하는 방식으로 언급되지 않지만 TCS 및 숫자 이론에는 관련이 있거나 유사한 몇 가지 개념이 있습니다.

1) 시공간 구조 이론에서 "시간 구성 가능"및 "공간 구성 가능" 기능 의 개념 이 필요하다. 비 시간 구성 및 비 공간 구성 함수가 존재하며 "갭, 속도 향상"정리와 같은 블룸 이론에서 발견되는 특이한 특성을 초래한다. 대부분의 (모든?) 표준 복잡도 클래스는 공간 및 시간 구성 가능 기능의 관점에서 정의됩니다.

2) ackerman 함수 는 전체 재귀이지만 원시 재귀는 아니며 시간 제한에 영향을 미칩니다. 어떤 의미에서 원시 재귀 함수는 "기본"수학 연산을 나타냅니다.

3) - 계산할 수없는 인 - 어 - 감 작성하는 것으로 해석 될 수 아노 연산에 uncomputable 수론 서열 대한 thms이 시간이 같은 범위이다 굿 스타 서열 또는 파리 해링턴 thms

— vzn
소스

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질문에 대한 답이 아닙니다.

— Kaveh February