논란의 여지가없는 2 단계 범용 튜링 기계는 무엇입니까?

카드 게임 규칙에 따라 간단한 튜링 머신을 인코딩하고 싶습니다. Turing 완전성을 증명하기 위해 범용 Turing 기계로 만들고 싶습니다.

지금까지 Alex Smith의 2- 상태 3- 기호 튜링 머신 을 인코딩하는 게임 상태를 만들었습니다 . 그러나 (2, 3) 기계가 실제로 보편적인지에 대해서는 논란의 여지가있는 것 같습니다 (Wikipedia에 근거한 것 같습니다).

rigour를 위해, 나는 논란의 여지가없는 UTM을 특징으로하는 증거를 원한다. 그래서 내 질문은 :

1. (2,3) 기계는 일반적으로 보편적, 비 유니버설 또는 논란의 대상으로 간주됩니까? 나는 이것에 대한 답을 찾기 위해 평판이 좋은 곳이 어디인지 모릅니다.

2. (2,3) 기계가 보편적으로 널리 받아 들여지지 않는다면, (2, N) 기계가 논쟁의 여지없이 보편적으로 받아 들여지는 가장 작은 N은 무엇입니까?

추가를 위해 편집 : 언급 된 머신의 무한 테이프에 대한 요구 사항을 알고 있으면 유용합니다. (2,3) 기계는 비주기적인 테이프의 초기 상태를 요구하는 것으로 보이며, 이는 카드 게임의 규칙 내에서 시뮬레이션하기가 약간 어렵습니다.

이전 답변에서 인용 한 작업 이후 몇 가지 새로운 결과가있었습니다. 이 설문 조사 는 최신 기술을 설명합니다 (그림 1 참조). 알려진 가장 작은 범용 튜링 기계의 크기는 모델의 세부 사항에 따라 다르며 다음은이 논의와 관련이있는 두 가지 결과입니다.

• 2 개 상태의 18 기호 표준 범용 기계가 있습니다 (Rogozhin 1996. TCS, 168 (2) : 215–240). 여기에는 단일 테이프의 한 방향 또는 두 방향 모두에서 일반적인 공백 기호 개념이 있습니다.
• $r$$l$

(2,18)이 가장 유용하게 들립니다.

$M$$w$$t$$M$$w$$t$

이 그림은 다양한 Turing 기계 모델 (Neary, Woods SOFSEM 2012에서 가져온)에 대해 알려진 가장 작은 범용 기계를 보여줍니다 . 여기 에서 참조를 찾을 수 있습니다 .

이것은 귀하의 질문에 대한 실제 답변이 아닙니다 ((2,3) 기계 토론에 대해 많이 알지 못합니다). 그러나 나는 당신에게 " 작은 Turing 기계와 일반화 된 바쁜 비버 경쟁 " 종이를 제안합니다 . 얼마 전에 빨리 읽었으며 4 가지 유형의 소형 TM 사이에 경계선이있는 멋진 그래프가 있습니다.

• 결정할 수있는
• Collatz와 같은 문제 열기
• $3x + 1$
• 만능인

(아마도 일부 결과가 개선되었습니다).

이 논문에 사용 된 TM의 개념은 소형 범용 Turing 장비의 논문에 사용 된 TM 의 표준 정의입니다.

... 양방향으로 무한한 독특한 1 차원 테이프와 독창적 인 양방향 읽기 / 쓰기 헤드를 가지고 있습니다. 0으로 표시되는 빈 기호가 있습니다. 처음에는 유한 단어 인 입력이 테이프에 기록되고 다른 셀에는 빈 기호가 포함되며 헤드는 입력의 가장 왼쪽 기호를 읽으며 상태는 초기 상태입니다. 각 단계에서 머신의 현재 상태와 헤드가 읽은 기호에 따라 기호가 수정되고 헤드가 왼쪽이나 오른쪽으로 이동하며 (같은 셀을 계속 읽을 수 없음) 상태가 수정됩니다. 특수 정지 상태에 도달하면 계산이 중지됩니다. ...

7 개의 상태와 2 개의 기호로 보편성을 달성 할 수도 있지만, 동일한 반대 의견이 많이 적용됩니다 (무한 테이프의 초기 상태가 불규칙하고 비정상적인 종료 조건). http://11011110.livejournal.com/104656.html 및 http://www.complex-systems.com/abstracts/v15_i01_a01.html을 참조하십시오 .

이는 Matthew Cook이 보편적으로 입증 한 Rule 110 셀룰러 오토 마톤 시뮬레이션을 기반으로하며, 두 개의 상태 만 있다는 제한을받는다면 Cook은 Rule 110의 2- 상태 5- 기호 시뮬레이션을 발견했습니다.

$S$$0\leq s < S$$C$$0\leq c< C$$2$$\text{L}$$\text{R}$$C+4SC$

항상 현재 셀 또는 전이와 관련된 두 셀만 향상된 색상을 가질 수 있습니다. 다른 모든 셀은 실제 색상을 갖습니다. 우리는 머신이 다음과 같이 동작하기를 원합니다 : 어떤 트랜지션을 수행 할 것인지 확인하고, 원하는 셀에서 "트루 상태"정보를 대상 셀로 옮기고 (이것은 많은 수의 앞뒤로) 우리가 남긴 셀 (트루 컬러 제공)을 반복하십시오.

$(c,s)$$\text{L}$$\text{R}$$(c_{\text{new}}, s_{\text{new}}, \text{emit})$$\text{L}$

$c$$\text{L}$$c$$(c,0, \text{L},\text{receive})$$\text{R}$

이를 구현하기위한 전환은 다음과 같습니다. 거의 모든 경우에 현재 상태에서 지정한 방향으로 이동 한 다음 상태를 뒤집습니다.

1. $c \to (c,0,\langle dir\rangle,\text{receive})$$\langle dir\rangle$

2. $(c,s) \to (c_{\text{new}},s_{\text{new}},\text{emit})$

3. $(c,s,\text{emit}) \to (c,s-1,\text{emit})$$s>0$

4. $(c,0,\text{emit}) \to c$

5. $(c,s, \langle dir\rangle, \text{receive}) \to (c, s+1, \langle dir\rangle, \text{receive})$$\langle dir\rangle$

6. $(c,s, \langle dir\rangle, \text{receive}) \to (c,s)$$\langle dir\rangle$

$C+3SC$

어떤 기술적 방식으로 "논쟁의 여지가없는"을 신중하게 정의하지 않으면 정확한 답이 없습니다. 여기 에 규칙 110을 기반으로 한 또 다른 작은 기계 가 보편적으로 입증되었지만 내 이해는 무한한 주기적 입력 테이프 공식화가 필요하다는 것입니다 (그리고 기계가 멈 추면 끝에서 추출). 비록 수학 메일 링리스트 [Mathematics 메일 링리스트]에 대해 논의되었지만 문헌에 기술 된 "주기적 비 주기적"테이프 문제를 보지 못함

Wolfram의 2 상태, 3 기호 튜링 기계에 대한 Alex Smith의 Turing-universality 증거는 논란의 여지가 없습니다. 주어진 보편성 증명 (기계가 아님)은 튜링 테이프에 무한 패턴이 필요하며, 그러한 구성을 허용해야하는지에 대한 질문이있었습니다 (일반적으로 '빈'테이프를 빈 반복 기호의 무한 반복 패턴으로 생각할 수 있습니다). 결론은 머신 테이프의 구성이 고정되어있는 한 (즉, 계산이 시작된 후에도 변경되지 않고 계산에 대해 동일하게 유지되는 한) Turing 머신에서 범용 계산을 수행한다는 것입니다. 이것은 Wolfram과 Cook이 보편적으로 입증 한 Wolfram의 Elementary Cellular Automaton 규칙 110에 대해서는 논란의 여지가 없습니다. 규칙 110의 보편성 증명은 초기 구성에서 무한한 패턴을 필요로합니다. 이는 양쪽에서 서로 다르기 때문에 2- 상태, 3- 기호 튜링 기계의 경우와 동일합니다. 또 다른 우려는 아마도 초기 조건 (공백) 요구 사항의 완화가 일부 상태를 언급하기 위해 유한 상태, 선형 경계 또는 푸시 다운과 같은 허용되는 비 튜링 범용 오토마타를 보편적으로 만들 수 있다는 것입니다. Chomsky 계층을 존중합니다. 따라서 2- 상태, 3- 기호 튜링 기계가 보편적인지 여부는 논란의 여지가 없지만, 범용성 증명은 일반적으로 일반 튜링 기계 테이프의 코 텐트로 간주되는 것의 변형을 요구했습니다. 이것은 직접적으로 2- 상태가