대부분의 사람들에게 그래프 채색 문제는 이미 충분히 어렵다 . 그럼에도 불구하고 저는 난이도가 높아야하고 하이퍼 그래프 색상에 대한 문제를 묻습니다.
질문.
k- 균일 한 하이퍼 그래프에 대해 거의 최적의 가장자리 채색을 찾기 위해 어떤 효율적인 알고리즘이 있습니까?
세부 사항 ---
k- 균일 하이퍼 그래프는 각 모서리에 정확히 k 개의 정점이 포함 된 것입니다. 간단한 그래프의 일반적인 경우는 k = 2입니다. 더 정확하게 말하면, 두 개의 모서리가 실제로 동일한 정점 세트를 가질 수 있는 레이블이있는 k- 균일 하이퍼 그래프에 관심이 있습니다. 그러나 k-1 정점 이하의 모서리가 교차하는 k- 정규 하이퍼 그래프에 대해 설명하겠습니다.
하이퍼 그래프의 가장자리 색은 그래프의 경우와 같이 같은 색의 가장자리가 교차하지 않는 것입니다. 색채 지수 χ '(H)는 평소와 같이 필요한 최소 색상 수입니다.
결정적 또는 무작위 다항식 시간 알고리즘에 대한 결과를 원합니다.
효율적으로 찾을 수있는 것과 실제 색채 지수 χ '(H)-또는 그 문제에 대해 매개 변수 측면에서 가장 효율적으로 얻을 수있는 결과 사이에서 가장 잘 알려진 근사 계수 / 첨가제 갭을 찾고 있습니다. 최대 정점도 Δ (H), 하이퍼 그래프의 크기 등과 같은
편집 : 아래 하이퍼 그래프 이중에 대한 Suresh의 발언에 의해 프롬프트가 표시됩니다 . 이 문제는 k 정규 하이퍼 그래프 의 강한 정점 채색 을 찾는 문제와 같습니다 . 즉, 각 정점이 k 개의 고유 한 가장자리에 속하지만 가장자리는 이제 다른 수의 꼭짓점을 포함 할 수 있습니다.] 인접한 두 꼭짓점이 서로 다른 색을 갖도록 꼭짓점 색을 원합니다. 이 개혁은 분명한 해결책이없는 것 같습니다.
비고
그래프의 경우, Vizing Theorem 은 그래프 G에 대한 모서리 색 수가 Δ (G) 또는 Δ (G) +1임을 보증 할뿐만 아니라, 표준 증거는 Δ (G ) +1 에지 컬러링. 이 결과는 내가 k = 2 인 경우에 관심이 있다면 충분할 것이다. 그러나 특히 k> 2 임의에 관심이 있습니다.
대부분의 정점에서 교차하는 모든 모서리와 같은 제한을 추가하지 않는 한 하이퍼 그래프-에지 색상의 경계에 대해 잘 알려진 결과는없는 것 같습니다. 그러나 나는 χ '(H) 자체에 대한 경계가 필요하지 않습니다. "충분히 좋은"엣지 컬러링을 찾는 알고리즘입니다. [I는 K 균일 되 제외한 내 하이퍼 그래프에 어떠한 제한을하지 않고, 어쩌면 최고 정점도에 경계 등 일부 F ∈ ω (1)에 대한 Δ (H) ≤ F (k)를 .]
[ 부록. 이제 MathOverlow 에 대한 색수, 경계 등의 구성에 대한 관련 질문을했습니다 .]