초월수의 결정 가능성

나는 그 대답이 잘 알려진 질문이 있지만 약간의 검색 후에 의미있는 것을 찾을 수 없으므로 도움을 주셔서 감사합니다.

내 질문은 숫자가 초월인지 여부를 결정할 수 없다는 것이 알려져 있는지 여부입니다.

아마도, 숫자의 i ^ 번째 비트를 리턴하는 프로그램을 입력으로 가정 할 수 있습니다. 모든 포인터에 미리 감사드립니다.

computability computable-analysis

— 입 소파
소스

실수가 주어진 비트를 계산하는 프로그램이나 합리적인 근사치를 계산하는 프로그램 또는 유사한 종류의 프로그램으로 표현되는 경우, 결정 가능한 실수 세트는 사소한 것입니다 (즉, 모든 계산 가능한 실수를 포함하거나 계산 가능한 실수가없는 것) 쌀 정리에 의해.

— Emil Jeřábek

그 의미는 어떻게 표시됩니까?

$\:$

답변:

Kristoffer의 솔루션을 사용하여 실수가 표현되어 있다고 가정하면 계산할 수있는 실수 시퀀스의 한계를 계산할 수 있습니다. 시퀀스를 상기 $(a_n)_n$ 계산 가능한지도가 있다면 계산 가능 $f$ 그런, 주어진 $k$ 우리는 $|a_{m} - a_{n}| < 2^{-k}$ 모든 $m, n \geq f(k)$ . 실수의 표준 표현은, 예를 들어 실수가 임의의 좋은 합리적인 근사치를 계산하는 기계에 의해 표현되는 것과 같습니다. (우리는 계산 자리수로도 말할 수 있지만 음수를 허용해야합니다. 이것은 실제의 계산 성 이론에서 잘 알려진 문제입니다.)

정리 : 가정 $S \subseteq \mathbb{R}$ 계산 가능한 시퀀스 가 존재하는 부분 집합 $(a_n)_n$ Cauchy이고 한계 은 외부에 있습니다. 그런 다음 질문 "실수 의 요소 "는 결정할 수 없습니다. $x = \lim_n a_n$ $S$ $x$ $S$

증명. 가 결정할 수 있다고 가정하십시오 . Turing machine 주어진 로 정의 된 시퀀스 고려 이 계산 가능하게 Cauchy 인지 쉽게 확인할 수 있으므로 한계 계산할 수 있습니다 . 이제 우리는이 IFF에 우리가 중단 문제를 해결할 수가 정지. QED. $S$ $T$ $b_n$

b_{n} = {\begin{cases} a_{n} & if T has not halted in the first n steps, \\ a_{m} & if T has halted in step m and m \leq n . \end{cases}

$b_n = \begin{cases} a_n & \text{if $T$ has not halted in the first $n$ steps,}\\ a_m & \text{if $T$ has halted in step $m$ and $m \leq n$.} \end{cases}$

b_{n}

$b_n$

y = lim_{n} b_{n}

$y = \lim_n b_n$

y \in S

$y \in S$

T

$T$

우리는 순서가 외부에서 가정하는 듀얼 정리가 그러나 그것의 한계에 . $S$ $S$

이러한 조건을 만족하는 세트 예 는 개방 간격, 폐쇄 간격, 음수, 싱글 톤 , 유리수, 비이성 수, 초월수, 대수 등입니다. $S$ $\lbrace 0 \rbrace$

정리 조건을 만족하지 않는 집합은 계산 불가능한 숫자 변환 된 유리수 의 집합 입니다 . 운동 : 결정할 수 있습니까? $S = \lbrace q + \alpha \mid q \in \mathbb{Q}\rbrace$ $\alpha$ $S$

— 안드레이 바우어
소스

답장을 보내 주셔서 감사합니다. 정리하면, 세트 S가 S 외부에 적어도 하나의 한계점이 있다면, 요소 x가 결정 불가능한지 여부를 결정 하는가? 그런 다음 예제에서 닫힌 간격에 대해 약간 혼란 스럽습니다.

— ipsofacto

폐쇄 구간은 일련의 외부 인출되는 듀얼 정리하여 다음 한계에 .

S

$S$

S

$S$

— Andrej Bauer

가 "외부 계산 가능" 이라는 것은 무슨 의미입니까 ( "외부 " 와 반대 ) ?

x

$x$

S

$S$

S

$S\hspace{.01 in}$

$\:$

$\;\;$

오타였습니다. 나는 그것을 알아 줘서 고맙습니다. 그렇지 않으면, " 는 계산 가능하게 밖에 있다"는 "모든 대해 " 와 같이 양의 합리적인 계산할 수있다 . 즉, " "가 실현됩니다. 그러나 Markov 원리를 믿으면 가 없다는 것을 알면 이러한 맵을 재구성 할 수 있습니다 .이 경우 "외부 와"계산 가능 외부 " 사이에는 차이가 없습니다 .

x

$x$

S

$S$

y \in S

$y \in S$

q

$q$

d (x, y) > q

$d(x,y) > q$

\forall y \in S . \exists q \in Q . 0 < q < d (x, y)

$\forall y \in S . \exists q \in \mathbb{Q} . 0 < q < d(x,y)$

x

$x$

S

$S$

S

$S$

S

$S$

— Andrej Bauer

튜링 기계 감안할 때 , 튜링 기계의 정의 다음과 같이 수를 나타내는를 : 입력에 실행 위해 빈 입력을 단계를 반복합니다. 정지 된 경우 출력하십시오 . 그렇지 않으면 의 번째 비트를 출력하십시오 . $M$ $M'$ $i$ $M$ $i$ $M$ $0$ $i$ $\pi$

— 크리스토퍼 안스 펠트 한센
소스

초월의 집합은 에서 열리지 않습니다 (특히, 에서는 밀도가 높고 코드화되어 있으므로 결정할 수 없습니다. $\mathbf R$ $\mathbf R$

— 데이비드 해리스
소스

계산 가능한 실수 세트는 에서 열리지 않지만 (특히 에서 밀도가 높고 코드화 됨 ) 결정 가능합니다.

R

$\mathbf{R}$

R

$\mathbf{R}$

$\:$

리키, 사실이 아니야 실수에 대한 오라클이 주어지면 계산 가능한지 여부를 결정할 수 없습니다.

— David Harris

내가 준 세트는 항상 "예"라고 대답하는 알고리즘으로 결정할 수 있습니다. 두 번째 문장은 내가 준 세트가 2 형이 아니라는 것을 보여줍니다.

$\:$

$\;\;$

@Ricky Demer : 계산 가능한 실수 세트는 두 가지 의미로 결정될 수 없습니다 : (1) 임의의 인덱스 주어지면, 가 계산 가능한 실수를 계산하는 Turing 머신의 인덱스 인지를 결정 하십시오. (2) 임의의 빠르게 수렴되는 Cauchy 시퀀스가 주어지면 계산 가능한 시퀀스인지 확인하십시오. 계산 가능한 실수 세트를 결정할 수있는 상식은 없습니다.

e \in N

$e \in \mathbb{N}$

e

$e$

— Carl Mummert

@Carl는 : 주어진 인덱스에 대한 알고리즘이 계산 가능한 실제를 계산하는 튜링 기계의 인덱스입니다 여부를 결정할 로 계산하는 튜링 기계의 인덱스는 계산 가능한 실제. 이것은이다 에만 있기 때문에, 실수의 집합의 decidability의 흥미로운 의미 당신의 (1) 정확히 어떤 계산 가능한 실수와 세트로 만족 과 (2)에 의해 정확하게 만족 와 .

e \in N

$\: e\in \mathbb{N} \:$

e

$e$

$\hspace{.1 in}$

$\;\;$

$\hspace{.2 in}$

$\hspace{2.2 in}$

{}

$\: \{\} \:$

R

$\mathbf{R}$

$\;\;\;$