정지 문제, 계산할 수없는 세트 : 일반적인 수학 증거?

셀 수있는 알고리즘 세트 (Gödel 번호로 표시)를 사용하면 N의 모든 하위 집합을 계산 (이진 검사하는 이진 알고리즘 작성) 할 수 없습니다.

증명은 다음과 같이 요약 할 수 있습니다. 만약 가능하다면 N의 모든 서브셋 집합을 셀 수 있습니다 (우리는 그것을 계산하는 알고리즘의 고델 (Gödel) 번호를 각 서브셋에 연결할 수 있습니다). 이것이 거짓이므로 결과를 증명합니다.

이것은 문제가 N의 하위 집합이 셀 수 없음과 동일하다는 것을 보여주는 증거입니다.

이제는 똑같은 결과 (N 하위 집합의 셀 수 없음)를 사용하여 중지 문제를 해결할 수 없다는 것을 증명하고 싶습니다. 매우 가까운 문제라고 생각하기 때문입니다. 이 방법으로 증명할 수 있습니까?

computability halting-problem

— 위어
소스

동일한 기술 (대각선 화)을 사용하여 두 결과를 모두 분명히 입증 할 수 있습니다. 그러나, 나는 전자가 사이의 비교에 대해 있기 때문에, 단지 ℕ의 부분 집합의 가족의 uncountability를 사용하여 정지 문제의 결정 불가능 성을 증명하는 것이 가능하다는 것을 생각하지 않는다 RE 및 R , 둘의 셀 수있는 가족입니다 ℕ의 부분 집합.

— 이토 쓰요시

중지 오라클에 액세스 할 수있는 프로그램은 셀 수없이 많으며 다시 Godel 번호로 표시됩니다. 그러나이 카운트 가능한 세트 중 정지 문제가 있습니다.

— David Harris

정지 이론, 칸토르 정리 (집합과 그 집합의 비 동질성), 고델의 불완전 성 정리는 모두 로버 고정 점 정리의 다음에 모든 는 고정 된 점을 갖습니다. $e : A \to (A \Rightarrow B)$ $f : B \to B$

로버, F. 윌리엄 대각선 인수 및 데카르트 닫힘 카테고리 . 수학 강의 노트, 92 (1969), 134-145.

이러한 아이디어에 대한 좋은 소개 는 Andrej Bauer 의이 블로그 게시물을 참조하십시오 .

— 닐 크리슈나 스와미
소스

꽤 깔끔합니다. 나는 그것들을 통일하는 공식적인 공식 논증이 있다는 것을 몰랐다.

— Suresh Venkat

나는 그것이 똑같아 보이고 냄새가 나면 그것이 같은 의미에 대한 범주적인 주장이 있다는 것을 지금까지 배웠다.

— Vijay D

IMO, Lawvere 정리에 대한 두 가지 정말 좋은 점은 (a) 부정적이기보다는 긍정적 인 진술이고, (b) 증거는 간단한 람다 미적분학 계산의 6 ~ 6 줄입니다.

— Neel Krishnaswami

질문을 읽을 때 누군가가 Lawvere의 고정 소수점 정리를 언급해야한다고 생각했습니다. 내가 답을 읽을 때 나의 기쁨을 상상해보십시오 :-)

— Andrej Bauer

e 변신은 올바른 조건이 아닙니다. 당신은 점 성형이 필요하다는 점을 암시하거나 암시하지 않는 점-투과율이 필요합니다. 참조 2.3 ncatlab.org/nlab/show/Lawvere%27s+fixed+point+theorem

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