구분자 쿼리에서 트리 재구성

가 구조를 모르는 상수도 트리 라고 가정하십시오 . 문제는 "노드 가 노드 에서 노드 까지의 경로에 있습니까?" 와 같은 쿼리를 요청 하여 트리 를 출력하는 것입니다 . 오라클은 각 쿼리에 일정한 시간 안에 응답 할 수 있다고 가정합니다. 트리의 노드 수인 값을 알고 있습니다. 목표는 트리를 출력하는 데 걸리는 시간을 최소화하는 것 입니다.$T$$T$$x$$a$$b$$n$$n$

이 생길 존재 상기 문제에 대한 알고리즘을?$o(n^2)$

에서 노드의 정도가 최대 3 이라고 가정하십시오 .$T$

내가 아는데 것을

바운드 직경 케이스는 쉽습니다 . 트리의 지름이 인 경우 분할 및 정복 알고리즘을 얻을 수 있습니다.$D$

이진 트리에는 트리를 1 / 3n 이상의 크기의 구성 요소로 나누는 좋은 구분 기호가 있습니다.

1. 정점 x를 선택하십시오. 좋은 구분자 레이블 인 경우 재귀하십시오.
2. x의 3 개의 이웃을 모두 찾으십시오.
3. 노드 수가 가장 많은 이웃 방향으로 이동하십시오. 이웃과 함께 2 단계를 반복하십시오.

구분 기호를 찾는 데는 대부분의 단계가 필요하므로 알고리즘을 얻습니다 .$D$$O(nD\log n)$

알고리즘 무작위$O(n\;\log^2 n)$ . (아래 의견에서 이동)

두 개의 꼭짓점 x와 y를 무작위로 선택하십시오. 1/9 확률로 분리 자의 반대편에 놓입니다. 경로의 중간 노드를 에서 . 이진 검색을 수행하지 않으면 구분 기호인지 확인하십시오.$x$$y$

구분 기호를 찾는 데 예상 시간 이 걸립니다 . 그래서 우리는 무작위 알고리즘 을 얻습니다 .$O(n\;\log n)$$O(n\;\log^2 n)$

배경. 나는 확률 적 그래픽 모델에서 일하는 친구로부터이 문제에 대해 배웠다. 위의 문제 는 3 개의 임의의 변수 X, Y 및 Z가 주어지면 Z 값이 주어지면 X와 Y 사이의 상호 정보 값을 알 수있는 오라클을 사용하여 접합 트리 의 구조를 학습하는 것과 대략 일치합니다 . 우리는 Z가 X에서 Y로가는 경로에 있다고 가정 할 수있다.

아니오 . 다음의 간단한 대적 전략은 노드 트리 를 재구성하는 알고리즘이 적어도 ( n - $n$"사이에"쿼리.$\binom{n-1}{2} = n(n-1)/2$

노드 임의로 레이블을 지정하십시오 . 적은 트리가 중심에 정점이 0 인 별인 것처럼 모든 쿼리에 응답합니다 . 0 을 루트로 생각 하고 다른 노드를 자식으로 생각하십시오.$0,1,2,\dots,n-1$$0$$0$

Between?(a,x,b)
    if x=0 return TRUE else return FALSE

이제 미만의 쿼리를 수행 한 후 알고리즘이 중지되었다고 가정 합니다. 그런 다음 알고리즘이 트리플 ( 0 , y , z )의 순열을 쿼리하지 않도록 0이 아닌 두 개의 꼭짓점 y 와 z 가 있어야합니다 . 알고리즘이 트리가 중심 0을 가진 별이 아니라고 주장 하면 공격자는 입력 내용을 표시하여 알고리즘이 잘못되었음을 증명합니다. 그러면 적은 x 가 실제로 y 의 유일한 자식 임을 알 수있어 알고리즘이 다시 잘못되었음을 증명합니다.$n(n-1)/2$$y$$z$$(0,y,z)$$0$$x$$y$

업데이트 : 죄송합니다. 정도 제약 조건을 발견했습니다. 다행히도 이것은 큰 장애물이 아닙니다. 노드 을 선호하는 이진 트리로 바꾸고 다른 n - 1 노드를 잎으로 알 수없는 순서로 바꾸고이 하위 트리를 재구성 알고리즘에 공개하십시오. 결과적인 ( 2 n - 3 ) 노드 이진 트리를 재구성하려면 여전히 적어도 n ( n - 1 ) / 2 쿼리가 필요합니다. 마찬가지로, m- 노드 이진 트리를 재구성 하려면 최소한 ( m + 3 $0$$n-1$$(2n-3)$$n(n-1)/2$$m$ 쿼리. (나는 더 미묘한 건설 상수를 향상시킬 것입니다 확신합니다.)$(m+3)(m+2)/8$ 으로 인 Jagadish는 지적이 일반화 작동하지 않습니다; 트리의 내부 노드에 대한 쿼리는 리프에 순서를 부여하여 필요한 쿼리 수를 줄였습니다.

$\tilde O(n \sqrt{n})$