이론적 컴퓨터 과학에서 대수적 구조의 사용

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저는 소프트웨어 전문가이며 개인 연구를위한 대수 구조에 대한 설문 조사를 작성하고 있으며 이러한 구조가 이론적 인 컴퓨터 과학 (및 컴퓨터 과학의 다른 하위 분야)에서 어떻게 사용되는지에 대한 예를 만들려고합니다. .

그룹 이론 하에서 나는 공식 언어에 대한 구문 모노 이드와 병렬 / 동시 컴퓨팅에 대한 트레이스 및 히스토리 모노 이드를 발견했다.

링 이론 관점에서 나는 그래프 처리 및 반 링 기반 파싱을위한 반 링 프레임 워크를 보았습니다.

나는 내 연구에서 모듈 이론에서 대수적 구조의 사용을 아직 찾지 못했다.

나는 더 많은 예가 있고 그것을 찾기 위해 올바른 장소를 찾고 있지 않다고 가정합니다.

이론적 컴퓨터 과학 (및 컴퓨터 과학의 다른 하위 분야)에서 일반적으로 발견되는 위에 나열된 영역의 대수적 구조의 다른 예는 무엇입니까? 또는 이러한 주제를 다루는 저널이나 기타 자료를 추천 할 수 있습니까?

— 젤라틴
소스

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이것은 다소 광대 한 것 같습니다. 모든 종류의 대수 구조 (그룹, 고리, 반고리, 반 그룹, 필드)는 이론적 인 컴퓨터 과학에 나타나며 특정 하위 구성 요소를 찾기가 어려울 정도로 널리 퍼져 있습니다. 또한 해싱 및 기타 많은 무작위 지문 처리 방법에 대한 유한 필드를 잊지 마십시오.

— Suresh Venkat 2016 년

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아마도 표현할 수있는 모든 것은 컴퓨터 과학에 사용되었습니다!

— vs

또한 참조 대칭 그룹의 대표 이론의 응용

— vzn

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제 생각에 전통적인 대수학은 컴퓨터 과학에 사용하기에는 너무 구체적입니다. 따라서 컴퓨터 과학자들은 더 약한 (따라서 더 일반적인) 구조를 사용하거나 전통적인 구조를 일반화하여 필요에 맞게 만들 수 있습니다. 카테고리 이론 도 많이 사용합니다수학자들은 대수학의 일부라고 생각하지 않지만 왜 그런지 알지 못합니다. 우리는 대수학이 일반적으로 1 차 반면 토폴로지는 고차원 적 측면을 다룰 수 있기 때문에 전통적인 수학을 "대수"와 "토폴로지"로 분리하는 것은 불편하고 심지어 무의미한 것으로 분리되어있다. 따라서 컴퓨터 과학에 사용되는 구조에는 대수와 토폴로지가 혼합되어 있습니다. 사실, 나는 대수보다 토폴로지에 더 가깝습니다. "대수"와 "논리"로 추론을 등록하는 것은 우리의 관점에서 또 다른 무의미한 부분입니다. 대수는 방정식 속성을 다루고 논리는 다른 모든 종류의 속성도 다루기 때문입니다.

당신의 질문으로 되돌아 가면, 세미 그룹과 모노 이드는 오토마타 이론에서 상당히 강하게 사용됩니다. Eilenberg는 2 권의 모음집 을 썼으며 , 두 번째 모음 은 거의 대수적입니다. 나는 그가 네 권의 책을 계획하고 있다고 말했지만 그의 나이는 프로젝트를 끝내지 못했습니다. Jean-Eric Pin은 온라인 서적 에서이 컨텐츠의 많은 현대화 된 버전을 보유하고 있습니다 . 오토마타는 "모노 이드 모듈"(일명 동작 또는 "동작"이라고도 함)이며 컴퓨터 과학의 일반 수준에 있습니다. 기존의 링 모듈은 너무 구체적 일 수 있습니다.

격자 이론은 의의 론적 의미론의 발전에 주요한 힘이었다. 컴퓨터 과학자가 수학자와 공동으로 연속 격자를 개발 한 다음이를 도메인으로 일반화 할 때 토폴로지는 격자 이론과 혼합되었습니다 . 나는 도메인 이론이 컴퓨터 과학자 자신의 수학이라고 말하고 전통적인 수학에는 지식이 없다.

범용 대수는 데이터 유형의 대수 사양 을 정의하는 데 사용됩니다 . 거기에 도달 한 컴퓨터 과학자들은 조건부 방정식 (등식 혼 절이라고도 함)과 1 차 논리 속성과 같은보다 일반적인 속성을 다루어야한다는 필요성을 즉시 발견했습니다. 알다시피 대수학은 이제 모델 이론으로 통합됩니다.

범주 이론은 유형 이론의 기초입니다. 컴퓨터 과학자들이 다양한 계산 현상을 처리하기 위해 새로운 구조를 계속 발명함에 따라 카테고리 이론은 이러한 모든 아이디어를 배치 할 수있는 매우 편안한 프레임 워크입니다. 또한 functor 카테고리와 같은 "전통적인"수학에는 존재하지 않는 카테고리 이론에 의해 활성화 된 구조를 사용합니다. 또한, 대수학의 사용에보기의 범주 지점에서 그림으로 돌아 오면 모나드 및 효과의 대수 이론 . 대수학의 이분법 인 대수학 ( Coalgebras )도 많은 응용 분야를 찾습니다.

따라서 컴퓨터 과학에는 "대수"가 광범위하게 적용되지만 전통적인 대수 교과서에서 볼 수있는 대수는 아닙니다.

추가 사항 : 범주 이론이 대수학이라는 구체적인 의미가 있습니다. 모노 이드 는 대수의 기본 구조입니다. 이진 "곱하기"연산자로 구성되며 연관성이 있고 ID가 있습니다. 카테고리 이론은 "유형"을 monoid의 요소 와 연관시켜 이것을 일반화합니다 . 유형이 일치하는 경우에만 요소 "를 곱"할 수있는 경우 및 다음 . 예를 들어, 행렬에는 곱셈 연산이있어이를 모노 이드로 만듭니다. 그러나 행렬 (여기서 및 $a : X \rightarrow Y$ $a : X \rightarrow Y$ $b : Y \to Z$ $ab : X \to Z$ $n \times n$ $m \times n$ $m$ $n$ 범주가 다를 수 있습니다. 따라서 모노 이드는 단일 유형을 가진 특별한 범주의 경우입니다. 고리는 단일 유형의 첨가제 범주의 특수한 경우입니다. 모듈은 소스 및 대상 범주에 단일 유형이있는 특수한 경우입니다. 곧. 범주 이론은 유형이 대수 로되어있어 전통적인 대수보다 무한대로 적용 할 수 있습니다.

— 우다이 레디
소스

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범주 이론가들은 대수를 범주 이론의 일부로 생각합니다. 대 수학자들은 범주 이론을 대수의 일부로 생각합니다. 논리 학자들은 둘 다 미쳤다고 생각합니다.

— Jeffε

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순수한 수학에서 토폴로지와 대수학 사이에는 많은 상호 작용이 있습니다 ...

— Sasho Nikolov

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이것은 좋은 대답이지만 "연대"와 "사일로 문화"에 대한 당신의 의견은 오해의 소지가 있다고 생각합니다. 대수학, 토폴로지 및 논리가 당신에게 통일 된 것처럼 보이는 이유는 관심있는 질문에 대해 귀하 와 관련된 이러한 주제의 부분이 매우 밀접하게 관련되어 있기 때문입니다. 그러나 예를 들어 복소수에 대해 4 차원 매니 폴드를 분류하려고하면 수학자들이하는 전통적인 구별의 유용성을 빠르게 알 수 있습니다. 그것은 당신이 해결하려는 문제에 달려 있습니다.

— Timothy Chow

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나는 개인적으로 여전히 수학과 컴퓨터 과학의 연구 문화에 대해 거의 모든 단일 추론에 전적으로 당황합니다. @TimothyChow가 지적했듯이, 서로 다른 종류의 문제를 다루기 위해 서로 다른 서브 필드가 개발되었으므로 서로 다른 도구가 개발되었습니다. 서로 다른 서브 필드에서 도구를 가져 오는 것이 합리적이고 사람들은 상호 작용이 있다는 것을 깨달았습니다. 예를 들어 거짓말 대수학에 관한 강의 노트에서 찾아보기 어려운 것이 아닙니다.

— Sasho Nikolov

3

컴퓨터 과학에 사일로 문화가 적다는 점과 관련하여 저도 동의하지 않습니다. PL 연구원들이 왜이 중장비를 모두 사용해야하는지, 무엇을 위해 사용하는지, 어떤 문제로 해결해야하는지, 왜 관심을 가져야하는지 전혀 모릅니다. 어쩌면 그것은 내 자신의 무지 일지 모르지만, 대부분의 복잡한 이론가들과 알고리즘 학자들은이 질문들에 대한 답을 알지 못할 것입니다 ...

— Sasho Nikolov

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TCS에서 그룹 이론을 가장 좋아하는 것은 Barrington 's Theorem입니다. 복잡성 블로그에서이 정리의 설명을 찾을 수 있고 해당 게시물의 주석 섹션에서 Barrington의 설명을 찾을 수 있습니다 .

— 다이 레
소스

2

+1 : 많은 사람들이 이것을 복잡한 이론에서 가장 놀라운 결과 중 하나로 생각합니다. :)

— Kaveh

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그룹, 링, 필드 및 모듈은 모든 컴퓨터 토폴로지에 있습니다. 특히 다차원적인 상동성에 대한 Carlsson과 Zomorodian의 연구 [예 : 1 ]를 참조하십시오. 이는 주요 이상 영역에 대한 등급별 모듈에 관한 것입니다.

— 제프
소스

@JeffE, 링크주세요.

— scaaahu

1

@JeffE, 내 의견은 공격적이지 않았습니다. 예, Google 사용법을 알고 있습니다. 내 요점은 Carlsson과 Zomorodian이 작성한 특정 기사가 있는데, 이는 지속적인 상동성에 대한 개요일까요? 하나 있으면 알려주십시오. 감사.

— scaaahu

이 논문 부터 시작하는 것이 좋습니다 . (죄송합니다, 이전의 의견은

— 소집되지 않았습니다

@JeffE, 내가 찾던 것을 얻었습니다. 감사.

— scaaahu

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다음은 매우 유용하고 실용적인 사용법입니다. 그래프 연결을 계산하는 알고리즘 ( FOCS2011 ). 그래프의 s-> t 연결을 계산하기 위해 저자는 유한 필드에서 s의 바깥 쪽 가장자리로 그려진 항목이있는 임의의 벡터를 할당하는 알고리즘을 제공 한 다음 무작위로 선형 조합을 수행하고, 최종적으로 t의 에지에 할당 된 결과 벡터의 순위를 계산하여 연결성을 발견합니다.

— 아론 로스
소스

포인터와 개요에 감사드립니다! 이것은 FOCS 2011에서 온 것입니다 : dx.doi.org/10.1109/FOCS.2011.55

— András Salamon

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격자와 고정 점은 프로그램 분석 및 검증의 기초에 있습니다. 격자 이론의 고급 결과는 고정 소수점 계산 및 근사와 같은 알고리즘 문제에 관심이 있기 때문에 거의 사용되지 않지만 격자 이론 연구는 다른 초점 (토폴로지, 이중성 이론 등)에 중점을 둡니다. 초기 추상 해석 논문은 기본 격자 이론을 사용합니다. Roberto Giacobazzi와 그의 공동 작업자들은보다 진보 된 결과를 사용합니다.

분산 컴퓨팅에서 대수 토폴로지 방법을 사용하여 유명한 불가능한 결과 제품군을 도출했습니다 (Maurice Herlihy 및 Nir Shavit의 작업 참조).

[편집 : 컴퓨터 과학에 토폴로지 응용 프로그램 참조 ]

— 비제이 D
소스

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범용 대수는 구속 조건 만족도 문제의 복잡성을 연구하는 데 중요한 도구입니다.

예를 들어, Dichotomy Conjecture 는 유한 영역에 대한 제약 조건 만족도 문제는 NP- 완전 또는 다항식 시간 해결할 수 있다고 말합니다. Ladner의 정리에 따르면 P = NP가 아니라면 P에 있지 않고 NP- 완전하지 않은 NP에 문제가 있으므로 CSP는 더 큰 복잡성 클래스에는없는 이분법을 갖는 것이 특별하다고 추측합니다. 또한 실제로 발생하는 대부분의 문제가 NP- 완전 또는 P로 분류 될 수있는 이유를 설명합니다.

이분법은 바이너리 도메인 CSP (Schaefer)와 3 차 도메인 CSP (Bulatov), 무 방향 그래프 (Hell and Nesetril)의 동질성 등 여러 특수한 경우에 대해 입증되었습니다. 그러나 일반적인 경우는 상당히 개방적입니다. 주요 공격 방식 중 하나는 보편적 인 대수를 통하는 것입니다. 매우 대략 (그리고 나는 이것에 대한 전문가는 아닙니다!) CSP의 다형성을 CSP의 도메인에 대한 함수로 정의합니다. 각 변수에 적용되는 경우 모든 만족스러운 제약 조건을 만족시킵니다. 어떤 의미에서 CSP의 다형성은 복잡성을 포착합니다. 예를 들어, CSP A가 CSP B의 모든 다형성을 인정한다면, A는 B에 대한 다항식 시간 감소입니다. 예를 들어 CSP의 다형성 대수가 i 등원이고 단항 유형을 허용하면 CSP는 NP- 완료입니다. Idempotence는 일반성을 잃지 않고 다소간에 이루어질 수있는 단순화 된 가정입니다. 대수가 dem 등원이고 단항 유형을 인정하지 않는 CSP가 다항식 시간에 풀 수 있음을 보여주는 것은 이분법 추측을 증명할 것입니다.

: Bulatov으로 설문 조사를 참조하십시오 http://www.springerlink.com/content/a553847g6h673k05/을 .

— 사쇼 니콜 로프
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다음은 TCS의 다른 부분에서 나온 두 가지 응용 프로그램입니다.

세미 링은 데이터베이스의 주석 (특히 출처에 필요한 주석)을 모델링하는 데 사용되며 종종 구속 조건 만족도 평가의 평가 구조에도 사용됩니다. 이 두 가지 응용에서, 개별 값은 자연적으로 반 반지 구조로 이어지고 연관성과 하나의 반 반지 연산이 다른 반도에 분배되는 방식으로 함께 결합되어야합니다. 모듈에 대한 쿼리와 관련하여, monoid는 일반적으로 이러한 응용 프로그램에서 반대가 아닙니다.

Todd J. Green, Grigoris Karvounarakis 및 Val Tannen. Provenance semirings , PODS 2007. doi : 10.1145 / 1265530.1265535 ( 인쇄 )
Stefano Bistarelli, Ugo Montanari 및 Francesca Rossi. 반원 기반 구속 조건 만족 및 최적화 , JACM 1997. doi : 10.1145 / 256303.256306 ( preprint )

— 안드라 살 라몬
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링, 모듈 및 대수 종류는 오류 수정 및보다 일반적으로 코딩 이론에 사용됩니다.

특히 리드 솔로몬 코드와 중국어 리마인더 코드를 일반화하는 추상 오류 수정 체계 (대수 기하학 코드)가 있습니다. 이 체계는 기본적으로 메시지를 고리 R에서 가져 와서 잔류 물을 R에서 여러 가지 이상으로 모듈화하여 인코딩합니다.

리스트 디코딩의 세계에서, Guruswami 의 최근 논문 은 폴딩 된 리드-솔로몬 코드를리스트 디코딩하는 선형 대 수법을 제공합니다. . 전체 공간만큼 크지 만 모든 저 차원 아핀 부분 공간과 작은 교차점을 갖는 부분 공간 회피 세트를 구성 할 수 있습니다 . 메시지 공간 내부의 하위 공간 회피 설정에서 메시지가 들어오는 것을 제한하면 Guruswami의 체계는 멋진 목록 크기를 보장하는 알고리즘을 제공합니다. 지금까지 Dvir와 Lovett는 다가오는 STOC 논문 인 Subspace Evasive Sets 에 서브 스페이스 회피 세트를 명시 적으로 구성했습니다. 특정 아핀 품종을 취하고 그 자체의 데카르트 곱을 가져 와서 세트를 구성하십시오.

— 앨런 구오
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확인 램지 이론 의 기본적으로 중요한 일반화 - 비둘기 집 원리 합니다 (비둘기 집 원리는 램지 이론의 간단한 경우, 또는 내가 말해야한다) 오토마타 및 형식 언어 이론의 많은 기초가. 그것은 기본적으로 고도의 무질서한 구조조차도 충분히 큰 경우 반드시 많은 순서를 포함하는 것으로 밝혀졌습니다. 비둘기 구멍 원리를 넘어서서 작은 예를 들어, 6 명을 데리고 가면, 그 중 3 명은 서로를 알거나 3 명은 서로를 알지 못합니다.

이 논문 은 컴퓨터 과학과의 연결을 시작하기에 좋은 곳처럼 보이지만 더 많은 정보를 얻을 수 있습니다. 기본 특성상 대수보다 조합 적이지만 대수 및 이론적 CS에 많은 응용 프로그램이 있습니다.

또한 발명가 프랭크 램지 (Frank Ramsey) 의 이야기를 살펴보십시오. 정말로 놀라운 경제학으로 경제와 철학뿐만 아니라 수학에도 근본적으로 혁신적인 기여를했으며 26 세의 나이에 죽기 전에는 많은 사람들이 인정하지 않았습니다. 그냥 생각해! 실제로, 램지 이론의 기초 인 램지의 원래 정리는 수학 논리에서 더 큰 목표를 가진 논문에서 단순한 명예였다.

— 데이비드 루이스
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이것은 고전적인 극심한 조합입니다. 대수와의 관계가 어디인지 궁금합니다. (나는 램지 이론이 큰 문제와 정리의 원천이라는 것에 대해서는 논쟁하지 않는다)

— Sasho Nikolov

S

$S$

A

$A$

k >= 2

$k >= 2$

n

$n$

w \in A^{+}

$w \in A^+$

n

$n$

e \in S

$e \in S$

w = x u_{1} . . . u_{n} y

$w = xu_1...u_ny$

x, y \in A^{*}

$x, y \in A^*$

{\bar{u}}_{i} = e

$\bar u_i= e$

나는 그래프 이론은 물론 램지 이론의 관련성을 tcs에 반박하고 있지 않다. 나는 OP가 대수와 램지 이론의 적용에 관해 물었다는 것이 일반적으로 대수학, afaik과 관련된 것이 아니라고 말합니다. 그러나 당신은 연결 램지 이론-> 대수-> tcs를 염두에두고있는 것처럼 보이기 때문에, 당신은 당신의 대답에 그것을 추가 할 수 있습니다

— Sasho Nikolov

@Sasho-Ramsey Theory가 대수학의 주제가 아니므로 내 대답이 기본이 아니라면 100 % 정확합니다. 답변을 드려 죄송합니다. 나는 내 마음이 징계와 학제 간 경계를 쉽게 넘어가는 경향이 있다고 생각합니다. 그러나 그보다 더 나쁘다. 램지 이론은 결코 "대수 구조"가 아니다. 내 대답을 자유롭게 내려주십시오. 문안 인사.

— David Lewis

글쎄요, 아마도 downvoting은 논리적 일 것입니다, 나는 극심한 조합론을 좋아합니다. 그래서 나는 가지 않을 것입니다 :) 대칭, 그래서 당신은 나에게 질문에 대한 아이디어를 제공합니다

— Sasho Nikolov

5

그룹 이론을 사용하면 많은 대칭 문제를 쉽게 분석 할 수 있습니다. 예를 들어 루빅스 큐브와 같은 알고리즘을 찾는 것이 있습니다. 나는 세부 사항을 모르지만, 하나님의 숫자가 20 이라는 것을 증명 하기 위해서는 심각한 그룹 이론 정리가 필요 하다고 확신 합니다. 다른 맥락에서, 해상 과 같은 그래프 동형화 문제에 대한 실제 솔버는 그래프 의 자동 형 그룹을 사용합니다.

— 시티 칸트
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또한 그래프 동형화 알고리즘 [Luks '81; Babai--Luks '82]는 가장 잘 알려진 보증 (이론 상으로는 효과가 있지만 실제로는 비효율적 일 수 있음)과 함께 유한 한 단순 그룹의 분류를 불러 일으키는 경우에도 그룹 이론을 많이 사용합니다.

— Joshua Grochow

5

$\mathbb{Z}_p$

— 프라 티쉬 미 슈라
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1

내가 알다시피, 현대 암호에 사용되는 다른 대수적 구조 (유한 필드, 고리 및 기타 구조)가 있습니다.이 숫자는 점차 숫자 이론을 버리고 격자, 오류 수정 코드 및 "양자 저항성"문제에 더 중점을 둡니다.

— josh mar

1

함수형 프로그래밍에서 문제에 대한 가장 일반적이고 우아한 추상화는 종종 대수 (또는 범주 이론적)입니다. 모노 이드, 반고리 , 펑터, 모나드, F- 대수, F- 대수 등 일부 고전적인 결과 (예 : 요 네다) lemma)는 계산적인 내용과 유용성을 가지고 있습니다.

또한, 대수적 위상 설정에서 (정렬 된) 유형 이론을 해석하는 호모 토피 유형 이론이 있습니다.

— xrq
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0

최근에, 우리는 (Springerlink에 대한 논문 참조 : 빈번한 아이템 셋 마이닝 접근법의 공식 시리즈 기반 통합 ) 공식 시리즈 및 가중 오토마타를 사용하여 마이닝 (인스턴스 데이터 마이닝 인스턴스) 접근법을 패턴 화하려는 통합 시도. 이 도구는 모노 아이드와 세미 링 구조 간의 매핑을 기반으로합니다.

— Slimane Oulad-Naoui
소스