일반적인 위치에 벡터 생성

열 모음 이 전체 순위 라는 속성을 가진 실제 $k\times n$ ( ) 행렬 를 보자 . $k\le n$ ${\bf A}$ $k$

Q : 증강 행렬 가 와 동일한 속성을 유지하도록 벡터 를 결정적으로 찾는 효율적인 방법이 있습니까? : 모든 열이 전체 순위입니다. ${\bf a}$ ${\bf A}' = [{\bf A}\;{\bf a}]$ ${\bf A}$ $k$

관련 참고 사항 : 이 속성이있는 행렬은 리드 솔로몬 코드 의 생성기입니다. Vandermonde 구조를 유지하는 열을 추가하면 rank 속성이 유지됩니다. $(n,k)$

— 디미트리 스
소스

당신의 요점을 이해하는지 잘 모르겠습니다. 필요합니다 . 은 문제가되지 않습니다.

k \leq n

$k\le n$

k = n

$k=n$

— Dimitris

@ Jɛ ﬀ E k는 변하지 않습니다 : k = n의 경우, (현재) n + 1 열 중 n 만 전체 순위 여야합니다. 이 경우 문제는 쉬워야합니다. R ^ n의 직교 기준으로 행렬의 아핀 변환을 찾은 다음이 아래에있는 이미지가 모두 1s 벡터 인 벡터로 둡니다.

— Suresh Venkat

이것이 Grassmanian을 통해이 작업을 수행 할 수있는 방법 인 것처럼 보이지만 그 방법을 잘 모르겠습니다.

— Suresh Venkat

@Suresh 예, n = k + 1의 경우 언급 한 방식으로 해결할 수있는 것 같습니다. 또는 단순히 벡터의 모든

모음의 nullspace에 있도록

를 선택할 수 있습니다 .

a

${\bf a}$

k

$k$

(k - 1)

$(k-1)$

— Dimitris

좋은 질문. 제한된 등거리 변환 속성을 확인하는 문제의 약한 버전처럼 들립니다.

— Sasho Nikolov

하이퍼 큐브 에서 무작위 균일하게 무작위로 선택 하면 행렬 는 확률이 원하는 특성을 갖게됩니다 . $\mathbf{a}$ $[0,1]^n$ $[\mathbf{A}~ \mathbf{a}]$ $1$

— 제프
소스

동의 할 수는 없습니다 :). 이러한 벡터가 작동하는지 확인하려는 경우 문제가 발생합니다. 열의 하위 집합 을 확인해야합니다 . 이 검사 문제는 고정 필드의 유한 필드를 고려할 때 더 관련성이 있지만 그에 대해 이야기하지 않으려 고했습니다.

(\binom{n}{k})

${{n}\choose{k}}$

— Dimitris

이 질문은 특히 효율적인 결정 론적 알고리즘을 요구 합니다. 관련된 질문에 답변했지만 질문에 명시된 조건을 충족시키지 못하면 내 의견으로 명시 적으로 말해야합니다.

— 이토 쓰요시

@TsuyoshiIto 뭐, 당신은 새끼 고양이를 좋아하지 않습니까? :)

— Suresh Venkat

@Suresh : 실제로 내 컴퓨터가 갑자기 새끼 고양이로 변하면 재미있을 것입니다. 이론적으로는 먼저 새끼 고양이를 정의해야합니다.

— 이토 쓰요시

@ Jɛ ﬀ E 아마도이 질문이 왜 관심이 있는지 명확히 했어야했을 것입니다. 실제 질문은 동일하지만 유한 필드에 해당하지만 필드는 선형 대수 문제를 복잡하게 만드는 경향이 있습니다. 응용 프로그램은 "좋은"코드 생성기 매트릭스의 설계입니다. Schwartz–Zippel lemma와 같은 도구를 사용하여 임의의 항목 (iid 항목)을 whp 속성을 만족시키는 것으로 표시 할 수 있습니다. 이 문제에서 SZ는 일반적으로 의 필드 순서가 필요 하며 행렬이 실제로 작동하는지 효율적으로 확인할 수 없습니다. 이것이 왜 중요한가? 가장 신뢰할 수있는 코드는 선호되지 않는 경우가 있기 때문입니다.

O (2^{k})

$O(2^k)$

— Dimitris