양자 확장기 뒤의 기하학적 그림

(또한 질문 여기에 , 아니 대답)

$(d,\lambda)$$\nu$$\mathcal{U}(d)$$|\mathrm{supp} \ \nu| =d$$\Vert \mathbb{E}_{U \sim \nu} U \otimes U^{\dagger} - \mathbb{E}_{U \sim \mu_H} U \otimes U^{\dagger}\Vert_{\infty} \leq \lambda$$\mu_H$$d$ 해로우와 로우.

내 질문은-양자 확장기는 고전 확장기와 유사한 종류의 기하학적 해석을 인정합니까 (스펙트럼 갭 isoperimetry / 기본 그래프의 확장)? 나는 "지오메트리 실현"을 공식적으로 정의하지는 않지만 개념적으로 순전히 스펙트럼 기준이 어떤 기하학적 그림으로 변환 될 수 있기를 희망 할 수있다. 확장기는 훨씬 더 제한적인 것으로 보입니다).$\sim$

[이 답변은 현재 없어진 이론 물리학 스택 교환 사이트에 대한 나의 답변에서 복사되었습니다.] 클래식 확장기의 경우, 스펙트럼 정의는 그래프 라플라시안의 두 번째로 작은 고유 값으로 표현할 수 있습니다. all-ones 벡터에 직교하는 모든 단위 벡터에 대한 2 차 형태. 이 최소화를 (a, a, ..., a, b, b, ..b) 형식의 벡터로 제한하면 그래프의 가장자리 확장이 생성됩니다. 여기 에 토론이 있습니다. 이 두 정의의 대략적인 동등성을 Cheeger의 불평등이라고 합니다.

이는 양자 사례의 경우 프로젝터에서 채널의 동작 (확장기에서 임의의 단일 단위를 적용하여 형성됨)을 고려해야한다는 것을 제안합니다. Cheeger의 부등식과 유사한 결과는 arXiv : 0706.0556 의 부록 A에 나와 있습니다.

반면에 이것은 수학적으로 유사하지만 우리는 여전히 고전적인 확장기보다 알려진 양자 확장기의 응용이 훨씬 적다는 것을 알고 있습니다.