프랙탈 미로의 결정 성

프랙탈 미로는 자체의 사본을 포함하는 미로입니다. 예를 들어, 이 기사 에서 Mark JP Wolf의 다음 내용은 다음과 같습니다 .

마이너스에서 시작하여 플러스로 향하십시오. 더 작은 미로 사본을 입력 할 때는 해당 사본의 문자 이름을 기록해 두십시오. 입력 한 역순으로 입력 한 미로의 각 중첩 사본을 종료해야합니다 (예 : A 입력, B 입력, C 입력, C 종료, B 종료, A 종료). 그것을 일련의 중첩 된 상자라고 생각하십시오. 중첩 된 사본을 떠나는 종료 경로가 없으면 막 다른 곳에 도달 한 것입니다. 통로를 더 선명하게하기 위해 색상이 추가되었지만 장식용 일뿐입니다.

솔루션이 존재하면 광범위한 우선 검색에서 솔루션을 찾아야합니다. 그러나 미로에 대한 해결책이 없다고 가정하면 우리의 검색 프로그램은 영원히 더 깊어지고 실행될 것입니다.

내 질문은 : 프랙탈 미로가 주어지면 해결책이 있는지 어떻게 알 수 있습니까?

또는 주어진 크기의 프랙탈 미로 (사본 당 입력 / 출력 수)의 경우 가장 짧은 솔루션의 길이에 제한이 있습니까? (만약 그러한 경계가 있었다면, 우리는 그 깊이 만 엄청나게 검색 할 수있었습니다)

문제점을 결정할 수 있음을 증명하는 빠른 비공식 알고리즘 :

• 있다는 것을 가정 입력 / 출력 I 1 , . . . I N ;$n$$I_1,...I_n$
• 그래프 구축 각 I I 상기 M I N U S 및 P L U S는 노드이다를 각각 중첩 미로 대체 M의 J A의 K N 서브 그래프 (그래프 전체); 사이에 에지를 부가 I I , M I N U S , P L U S , M J I에서 k는 미로에있어서; "외국인"유지 M j I i → M $G$$I_i$$MINUS$$PLUS$$Mj$$K_n$$I_i, MINUS, PLUS, Mj_{I_k}$ 대응하는 "내부"가장자리에서 뚜렷한 에지II→I는케이의M의J전체 서브 그래프로서;$Mj_{I_i} \rightarrow Mj_{I_k}$$I_i \rightarrow I_k$$Mj$
• 에서 MINUS에서 PLUS까지의 모든 경로를 열거합니다 (주기를 피함).$G$
• 중첩 복사본을 통과하지 않는 경로를 찾으면 해결책입니다. 그렇지 중첩 미로의 각 "내부"순회 확장 각 경로를 :$Mj$

제 열거 경로가 있음을 가정 , 그 경로에서 경로가 저번 유효한 해결책 I은 i → I j 및 I k → I h 에서 원래 미로 (그래프 G ).$MINUS \rightarrow A_{I_i} \rightarrow A_{I_j} \rightarrow B_{I_k} \rightarrow B_{I_h} \rightarrow PLUS$$I_i \rightarrow I_j$$I_k \rightarrow I_h$$G$

우리가해야한다 그래서 확장 나는 내가 → I J 와 B I의 K → B I의 시간 에서 모든 경로를 열거 순회 I 난 에 내가 케이 으로부터를 나는 케이 에 I의 시간 에서 G .$A_{I_i} \rightarrow A_{I_j}$$B_{I_k} \rightarrow B_{I_h}$$I_i$$I_k$$I_k$$I_h$$G$

무한 루프는 이전 단계에서 이미 포함 된 경로의 확장 에서 에서 I k 까지의 모든 경로를 열거 할 때 감지됩니다 . . . → M I I → M I의 K → . . . 일부 서브 미로 M의 경우 ( n 2 가능한 확장 만 있음).$I_i$$I_k$$... \rightarrow M_{I_i} \rightarrow M_{I_k} \rightarrow ...$$M$$n^2$

입력 / 출력 만 포함 된 경로 확장을 찾으면 해결책을 찾을 수 있습니다 . 루프없이 경로를 더 확장 할 수 없다면 미로는 해결책이 없습니다.$I_i$

이것은 내 질문에 대한 "답변"이 아니라 여기 사람들이 흥미로울 수있는 확장 된 설명입니다.

나는 미로와 해법에 대한 자연적인 "분석 유형"정의가 있으며 여기에서 사용한 컴퓨터 과학 / 그래프 이론 정의와는 다릅니다. 특히, 분석 정의에서 "솔루션"을 갖는 프랙탈 미로를 가질 수 있지만 Marizio De Biasi의 알고리즘과 Peter Shor의 푸시 다운 오토마타 기술로 해결할 수없는 것으로 선언됩니다.

정의 : 미로 평면의 소형 서브 세트 M ⊂ R 2 개 시점을 포함하고, 엔드 포인트 들 , 즉 ∈ M 각각. 용액 연속 인 함수 F : [ $M$$M \subset \mathbb{R}^2$$s,e \in M$ 되도록 F ( 0 ) = S 및 F ( T ) = E .$f:[0,T] \rightarrow M$$f(0)=s$$f(T)=e$

이제 힐버트 커브를 고려하십시오 .

다음 다이어그램을 통해이 곡선을 "프랙탈 미로"로 해석 할 수 있습니다.

$P$

$P = APA^{-1}BPB^{-1}CPC^{-1}DPD^{-1}$

힐버트 커브가 전체 정사각형을 채우므로 프랙탈 미로의 정신이 아니라고 주장 할 수 있습니다. 따라서 처음부터 끝까지 직선 세그먼트를 그릴 수 있습니다. 이 반대는 쉽게 무시할 수 있습니다. 여기에 표시된 것처럼 힐버트 커브 다이어그램을 직접 포함하면됩니다.

여기에는 힐버트 곡선의 균일 한 수렴을 나타내는 데 사용 된 것과 동일한 인수에 의해 시작부터 끝까지 진행되는 균일 한 수렴 연속 경로 시퀀스가 ​​포함됩니다. 그러나 그것은 전체 공간을 채우지 않는다는 점에서 진정한 "프랙탈 미로"입니다.

따라서 우리는 분석적 정의로 해결할 수 있지만 그래프 이론적 정의로는 해결할 수없는 프랙탈 미로를 가지고 있습니다.

어쨌든, 나는 내 논리가 정확하다고 확신하지만, 반 직관적 인 것처럼 보이므로 누군가 그것에 대해 밝힐 수 있다면 나는 그것을 이해할 것입니다.