Bicliques 계산의 매개 변수화 된 복잡성

이전 질문 Bicliques를 찾기위한 Parametrized Algorithm에서 , 나는$k\times k$ 꼭짓점 그래프 에서 -biclique 이고 그것이 FPT wrt 이면 열려 있음을 알았습니다 . 대해 동일한 사실이다 계산 -bicliques 또는 이것이 #의 것으로 알려져 -hard WRT (또는 경도의 다른 개념)?$n$$k$$k\times k$$W\[1\]$$k$

그 계산 알고 유도 -bicliques #이있는 -hard, 섹션 4.5에서 유도 biclique 구하는 간단한 확대 축소 방탄복 Gaspers '논문 .$k\times k$$W\[1\]$

이것은 표준 보간 인수에 의해 #W [1] -hard이어야합니다. 대략적인 스케치입니다.

먼저, 여러 가지 버전의 비커스 문제를 고려해보십시오. 꼭짓점 세트가 클래스로 분할 된 그래프가 주어지면 각 세트에서 정확히 하나의 꼭짓점이 포함 된 비 릭크를 찾으십시오. FPT 상태가 열려있는 Biclique와 달리이 멀티 컬러 버전은 W [1] -hard로 알려져 있습니다. 나는 그것이 또한 #W [1] -hard이어야한다고 믿는다.$X_1,\dots, X_{2k}$

그래프 주어 위와 및 파티션, 우리는 새로운 그래프를 얻을 수 있도록 모든 정점 바꾸어 크기의 독립적 세트 (사이 각 에지 교체 및 의해 biclique). 이제 의 biclique 의 수는 변수 의 함수입니다 . 사실, 하나는이 기능을 최대 수준의 다항식 것을 볼 수 있습니다 용어의 계수가 에서 여러 가지 빛깔 bicliques 정확히 수입니다$G$$G'$$X_i$$x_i$$X_i$$X_j$$x_i\times x_j$$k\times k$$G'$$2k$$x_1,\dots,x_{2k}$$2k$$x_1\cdot\dots\cdot x_{2k}$$G$ . 따라서 변수 충분히 많은 값 조합을 대입하고 에서 bicliques의 수를 세면 보간법으로 계수를 복구하기에 충분히 많은 곳에서이 다항식을 평가할 수 있습니다.$x_i$$G'$