제곱 행렬의 거듭 제곱을 계산하는 방법은 무엇입니까?

행렬 이 주어지고 m ∈ N 0 이라고하자 . 그 행렬 의 전력 A m 을 얼마나 빨리 계산할 수 있습니까?$A \in \mathbb R^{N\times N}$$m \in \mathbb N_0$$A^m$

제품 계산과 비교하여 다음으로 가장 좋은 것은 O ( log m ) 매트릭스 제품 을 필요로하는 빠른 지수를 이용하는 것 입니다.$m$$\mathcal O(\log m )$

대각선 화 가능한 행렬의 경우 고유 값 분해를 사용할 수 있습니다. 자연 분해, 요르단 분해는 삽관시 불안정하므로 계산에 포함되지 않습니다 (afaik).

일반적인 경우에 행렬 지수를 계산할 수 있습니까?

빠른 지수는이 질문의 변형이 유용하다는 것을 암시합니다.

알려진 행렬 곱셈 알고리즘보다 일반 행렬 의 제곱을 더 빠르게 계산할 수 있습니까?$A$

참고로, 계산은 N × N 행렬 에서 행렬 곱셈에 대한 연산 수의 O ( log m )에 수행 할 수 있습니다 . 두 번째 질문에 대한 답은 적어도 점근 적 복잡성에 대한 답은 아닙니다. 매트릭스 스쿠 어링과 행렬 곱셈은 동일한 시간 / 산술 복잡성 (상수 요인까지)을 갖습니다. 제곱을 행렬 곱셈으로 줄이는 것은 분명합니다. 제곱에 대한 곱셈을 줄이기 위해 A 와 B 의 곱을 계산한다고 가정 합니다. 형태 2 N × 2 n 개의 행렬 C 블록 구조를 :$A^m$$O(\log m)$$N \times N$$A$$B$$2n \times 2n$$C$

$[0~~A]$

$[B~~0]$

즉, 는 왼쪽 위 사분면과 오른쪽 아래 사분면에 n × n의 모든 영점 행렬을가집니다. 참고 C 2 포함 ⋅ B를 상부 왼쪽 사분면.$C$$n \times n$$C^2$$A\cdot B$