저는 컴퓨터 과학 이론가는 아니지만이 실제 문제가 여기에 있다고 생각합니다.

문제

우리 회사에는 전국에 여러 부대가 있습니다.

우리는 직원들에게 다른 부서에서 일할 수있는 가능성을 제공했습니다. 그러나 한 가지 조건이 있습니다. 한 유닛의 총 근로자 수는 변경할 수 없습니다.

즉, 누군가 자신의 자리를 원할 경우 직원이 퇴사 할 수 있습니다.

예 (가상) 요청 데이터 :

Name            Origin    Destination
Maria              1  ->  2
Marcos             2  ->  3
Jones              3  ->  4
Terry              4  ->  5
Joe                5  ->  6
Rodrigo            6  ->  1
Barbara            6  ->  1
Marylin            1  ->  4
Brown              4  ->  6
Benjamin           1  ->  3
Lucas              4  ->  1

위의 플롯 :

빨간색, 파란색 또는 검은 색 옵션 중에서 어떻게 선택해야합니까?

실제 문제는 27 개와 751 개의 요청이 있기 때문에 조금 더 복잡합니다. 시각화를보십시오

목표

모든 요청을 수집 한 후 대부분의 요청을 충족시키는 방법은 무엇입니까?

이론 (?) 응용

그래프 를 가지고 모든 단위가 꼭짓점 이고 요청이 지향 모서리 E 가되게한다면 성공적인 교환은 지향성 cyle의 형태를 취할 것입니다.V의 $G(V, E)$$V$$E$

각주기는 사용해야합니다 (한 번만 노동자 두 번 자신의 장치를 떠날 수 없다 ) 만 방문 할 수 여러 번 ( 단위 떠나고 싶은 많은 노동자를 가질 수있다 ).$E$$V$

질문

이 문제가 다음과 같이 표현되면

"지향 그래프에서 가장 많은 수의 비공유 에지를 포함하는 사이클을 찾는 방법"?

우리는 대부분의 요청자를 만족시킬 것인가?

사실, 최적의 사이클 세트를 찾는 알고리즘이 있습니까?

이 거친 접근 방식으로 문제가 해결됩니까?

1. 에서 가장 큰 지정 사이클을 찾으십시오 .$G$
2. 에서 모서리를 제거하십시오 .$G$
3. 지시 된 사이클이 없을 때까지 1을 반복하십시오 .$G$

도와 줄래?

원래 문제를 설명하는 또 다른 방법을 알고 있습니까 (대부분의 요청자가 행복해 지도록)?

편집 : 문제를 더 잘 설명하기 위해 부서를 단위로 변경했습니다.

저는 TradeMaximizer의 코드를 읽었으며 다음과 같은 일반적인 문제를 해결한다고 생각합니다.

문제 : 주어진 호는 비용이있는 유향 그래프입니다. 커버 된 버텍스의 수를 먼저 최대화하고 총 비용을 최소화하는 버텍스-비 연속 사이클 세트를 찾으십시오.

문제는 여기에 질문 해결하기 위해, 정점 직원 수와 그릴 수 있도록 호 단가 의 작업 싶습니다 . 직원은 이제 모서리가 아닌 정점입니다. 좋은 점은 직원이 "나는 정말로 일을 원하지만 일도 원할 것"이라고 말할 수 있다는 것입니다 .x y y $x\to y$$x$$y$$y$$z$

해결책:

1. 원래 그래프의 각 정점 에 대해 왼쪽 정점 , 오른쪽 정점 및 원가 (원래 그래프의 비용 합계보다 큼)을 소개합니다. 원래 그래프의 각 호 에 대해 이분 그래프에서 호 을 도입합니다 .x L x R x L → x R x → y x L → y $x$$x_L$$x_R$$x_L\to x_R$$x\to y$$x_L\to y_R$

2. 이분 그래프에서 최소 비용 완벽 일치를 찾으십시오.

원본 그래프의 일부 전처리도 있습니다. SCC 사이에서 호를 제거한 다음 위에 표시된대로 크기가 모든 SCC를 처리하십시오 .$>1$

(실제로 TradeMaximizer는 위의 두 가지 기준에 따라 가장 큰주기의 길이와 같은 다른 것들을 경험적으로 최적화하기 위해 모든 최적의 솔루션을 반복합니다. 사람이 마음을 바꾼다.)

추신 : 저자 크리스 오카 사키 (Chris Okasaki)는 이것이 블로그 포스트 에서 코드가하는 일임을 확인했습니다 .

이것은 표준 최소 비용 순환 문제입니다. 각 지정 에지 용량 과 비용 . 그런 다음 실행 가능한 순환은 에지 분리형 사이클의 합 (즉, 합집합)이며 순환 비용은 에지 수의 부정입니다.- $1$$-1$

모든 비용과 용량은 상수에 의해 제한되므로 간단한 사이클 취소 알고리즘은 다항식 시간에 필요한 순환을 찾습니다. 이것은 명백한 욕심 많은 알고리즘과 거의 동일합니다.

while G has any negative-cost directed cycles
    γ = arbitrary negative-cost directed cycle
    reverse every edge in γ
    negate the cost of every edge in γ
return the subgraph of reversed edges

여기서 사이클 비용은 에지 비용의 합계입니다. 음수 사이클은 시간에 Bellman-Ford 최단 경로 알고리즘을 사용하여 찾을 수 있습니다 . 각 반복은 현재 순환 비용을 최소한 1 감소시킵니다. 초기 (빈) 순환 비용은 이고 최종 순환 비용은 이상 입니다. 따라서 알고리즘은 최대 반복 후에 종료 되므로 총 실행 시간은 최대 입니다.0 - E E O ( V E 2$O(VE)$$0$$-E$$E$$O(VE^2)$

이것은 알려진 가장 빠른 알고리즘이 아닙니다.

이 탐욕스러운 접근 방식이 항상 최상의 솔루션을 제공하지는 않습니다.

$C$$n$$\{(v_1, v_2),\dots,(v_n,v_1)\}$$C_1$$C_2$$n-1$$C$

$C$$n$$C_1$$C_2$

$C_1$$C_2$$2(n-1)=2n-2$

옆으로 : 위 예에서 두 사이클을 추가하는 대신 추가 할 수 있습니다.$\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$

아마도이 문제를 해결하기위한 그래프 이론 방법 / 공식이있을 수 있지만이 문제는 모든 순열 중 일부가 거부되고 다른 일부는 유효한 순열 문제처럼 들립니다. 순열은 직원이고 직위는 회사의 "직책"입니다. "person [x] 원하는 위치 [y]"의 요구 사항에 맞지 않으면 순열이 거부됩니다. 단위 / 부서 / 조직 경계의 구별은이 경우 솔루션에 다소 불필요하다.

제약 조건이있는 이러한 유형의 순열 문제는 SAT (만족도) 문제의 인스턴스로 쉽게 변환 될 수 있습니다. 부울 변수 할당은 직원을 나타내고 제약 조건 절은 "person [x] wants position [y]"제약 조건을 나타냅니다. 근처에 전형적인 예가 있습니다. 하나는 일반적으로 좌석 위치와 손님이 있고 모든 손님이 서로 옆에 앉기를 원하지 않는 "식탁 테이블"문제라고합니다.

물론 PC에는 약 수백 개의 변수와 절이 포함 된 상당히 큰 인스턴스에 대해 정교한 SAT 솔버가 있으며, 문제가 수천에서 "하드"가 아닌 경우도 있습니다.

예를 들어 전문적인 참고 자료는 [1], 수업 연습은 [2]를 참조하십시오. 비둘기가 비둘기 구멍에 할당되어 있고 비둘기보다 구멍이 많거나 적은 SAT 서클에서 잘 연구되는 "비둘기 구멍 문제"와 구조적 유사성이 있습니다. 이 경우 비둘기는 일반적으로 상호 교환 가능한 것으로 간주됩니다. 즉, 저녁 식사 테이블 문제는 더 강한 제약 조건을 가진 비둘기 구멍 문제와 같으며 손님 / 비둘기는 선호도가 필요합니다.

물론 이러한 유형의 문제에 대해서는 제약 조건에 따라 "제한된 솔루션이 존재하지 않을 수 있습니다"라는 점에 유의하십시오.

[1] 저녁 식사 테이블 알고리즘, crato

[2] CS402 프린스턴 HW SAT

[3] 위키피디아의 만족도 문제