행렬이 완전히 규칙적인지 결정하는 복잡성

모든 정사각형 서브 매트릭스가 전체 순위를 갖는 경우 행렬을 완전히 규칙이라고합니다. 이러한 매트릭스는 초 집중기를 구성하는 데 사용되었습니다. 주어진 행렬이 이성에 대해 완전히 규칙적인지를 결정하는 복잡성은 무엇입니까? 유한 필드 이상?

보다 일반적으로, 최대 크기의 모든 정사각형 서브 매트릭스 가 전체 순위를 갖는 경우 행렬을 완전히 정규식이라고합니다 . 행렬과 매개 변수 주어지면 행렬이 완전히 정규 인지 여부를 결정하는 복잡성은 무엇 입니까? $k$ $k$ $k$ $k$

— 마르쿠스 블 레저
소스

기본적인 질문 : 규칙적인 매트릭스를 말할 때 무엇을 의미합니까? 감사!

— Henry Yuen

모든 하위 행렬이 단수라는 것을 의미합니까? 나는 지금 당장 찾을 수없는 비슷한 질문이 있었다는 것을 기억합니다

— Sasho Nikolov

실제로 다음과 같은 규칙에 대한 세 가지 다른 의미가 있습니다. en.wikipedia.org/wiki/Regular_matrix

— Suresh Venkat

아, 관련 질문 cstheory.stackexchange.com/questions/10962/…를 찾았습니다 . 귀하의 질문은 내가 작성한 의견에 더 가깝습니다. 이것은 제한된 등거리 측정 당사자를 테스트하는 (광범위한 AFAIK) 질문의 더 쉬운 변형입니다.

— Sasho Nikolov

유한 필드에 대해, 행렬이 -regular인지 테스트하는 것은 코드 생성기 행렬이 최소 거리 (즉, MDS인지 여부)을 갖는지 확인하는 것과 같습니다. 최소 코드 거리를 찾기위한 상수 인자 근사조차 어렵다. 이 백서 ee.ucr.edu/~dumer/ieee49-1-03-np.pdf 및 내부 참조를 확인하십시오 .

n \times k

$n\times k$

k

$k$

n \times k

$n\times k$

n - k + 1

$n-k+1$

— Dimitris

답변:

용지 반데 몬드 행렬, NP-완전성 및 횡단 부분 공간 [PS] 알렉산더 Chistov, 에르베 푸르니에, 레오 니드 Gurvits 파스칼 Koiran으로는 (비록 그것이 응답하지 않음) 귀하의 질문에 관련이있을 수 있습니다.

그들은 다음과 같은 문제 의 - 증명한다 : ( )에 행렬이 주어지면, 결정 기가 사라지는 서브 매트릭스 가 존재 하는지를 결정한다 . $\mathsf{NP}$ $n\times m$ $\mathbb Z$ $n\le m$ $n\times n$

— 브루노
소스

고마워, 브루노! (합리적인) 무작위 배제로 내 문제에 대한 귀하의 답변 문제를 줄일 수 없습니까? 임의의 행을 추가하십시오 . 새로운 행렬이 완전히 규칙적이지 않은 경우, 첫 번째 행 에 특이한 -submatrix를 포함합니다 . 아뇨 하위 행렬은 더 작을 수 있습니다. 그러나

m - n

$m-n$

n \times n

$n \times n$

n

$n$

— 아마도이

예, 귀하의 문제는 본질적으로 Alexander Chistov, Hervé Fournier, Leonid Gurvits 및 Pascal Koiran 논문의 문제 ( 일반직)와 동일 합니다 .

행렬 , 고려하십시오 . 일반성의 손실없이, 가정 그 및 제 의 열 독립적으로 : , 정칙 A는 행렬. 이제, 가 완전히 규칙적이지 않은 경우에만 에는 단수의 하위 행렬이 포함됩니다 . $n \times m$ $A$ $n < m$ $\text{rank}(A) = n$ $n$ $A$ $A =[B\ |\ D]$ $B$ $n \times n$ $A$ $n \times n$ $B^{-1}D$

— 레오 니드 구르 비스
소스

같은 정신에 또 다른 NP-Complete 문제가 있습니다. 정사각 행렬이 모든 주요 하위 행렬 (예 : 동일한 집합의 행과 열)이 단수인지 여부를 결정하는 데 사용됩니다. 또 다른 흥미로운 사실은 모든 제곱 하위 행렬의 결정 요인 제곱의 합이 쉽지만 Det (I + AA ^ {T})이지만 절대 값의 합은 # P- 완료입니다.

— 레오 니드 구르 비스
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