네트워크 분석을위한 쌍 근사치 개선

네트워크에서 상호 작용을 고려할 때는 일반적으로 역학을 분석적 으로 계산하기가 매우 어렵고 근사치가 사용됩니다. 평균 필드 근사값은 일반적으로 네트워크 구조를 완전히 무시하기 때문에 좋은 근사값은 거의 없습니다. 인기있는 근사법은 쌍 근사법으로, 인접 노드 사이의 고유 한 상관 관계를 고려합니다 (직관적으로 우리는 가장자리의 평균 필드 근사치 유형으로 생각할 수 있습니다).

Cayley 그래프를 고려하면 근사치가 정확하고 정규 랜덤 그래프를 보면 매우 좋습니다 . 우리는 평균 학위를 가진 임의의 그래프가있을 때 실제로 그것은 또한 경우에 좋은 근사치를 제공 와도 주위의 꽉 유통 . 불행히도, 관심있는 많은 네트워크와 상호 작용은 이러한 종류의 그래프로 잘 모델링되지 않습니다. 그들은 일반적으로 특정 (및 높이)와, (예를 들어, 스케일 프리 네트워크 같은) 매우 다른 정도 분포와 그래프에 의해 잘 모델링된다 클러스터링 계수 (참조 이상, 또는 특정 평균 최단 경로 거리는 버트 및 2,001 Barabasi를 ) .k $k$$k$$k$

이러한 유형의 네트워크에 적합한 쌍 근사화가 있습니까? 또는 사용 가능한 다른 분석 근사가 있습니까?

네트워크에서의 상호 작용의 예

네트워크에서의 상호 작용이 의미하는 바의 예를 들겠다고 생각했습니다. 나는 진화 게임 이론의 비교적 일반적인 예를 포함 할 것이다.

각 노드는 에이전트 (일반적으로 전략으로 만 표시됨)로 생각할 수 있으며, 고정 된 게임은 에지가있는 에이전트와 서로 짝을 이루어 재생됩니다. 따라서 각 노드에 전략이 할당 된 특정 네트워크는 각 노드에 대한 대가를 산출합니다. 그런 다음 이러한 보수와 네트워크 구조를 사용하여 다음 반복에 대한 노드 간 전략 분포를 결정합니다 (일반적인 예는 각 에이전트가 가장 높은 보수를 가진 이웃을 복사하거나 이에 대한 확률 적 변형이 될 수 있음). 우리가 일반적으로 각 전략의 요원 수와 그 변화가 시간 외 근무 방식을 아는 것과 관련하여 관심이있는 질문입니다. 종종 우리는 안정적인 분포 (우리가 알고 싶어하거나 근사하기를 원함) 또는 때로는 제한주기 또는 더 이국적인 짐승을 가지고 있습니다.

이런 종류의 모델에 대해 평균 필드 근사를 수행하는 경우 네트워크 구조를 무시하고 완전한 그래프에 대해서만 정확 하는 복제기로 방정식 을 동적으로 사용합니다. 쌍 근사를 사용하면 ( Ohtsuki & Nowak 2006과 같이 ) 약간 다른 역학을 얻습니다 (실제로 그래프의 정도 및 업데이트 단계의 세부 사항에 따라 수정 된 페이 오프 매트릭스를 사용하여 복제기 역학이됩니다) 임의의 그래프에 대해서는 시뮬레이션과 잘 일치하지만 다른 관심있는 네트워크에는 적합하지 않습니다.

더 많은 물리학의 예 : 스핀으로 에이전트를 교체하고 Payoff 매트릭스를 상호 작용 Hamiltonian으로 호출 한 다음 주기적으로 임의 측정을 수행하면서 시스템을 냉각시킵니다.

메모 및 관련 질문

• 트리플 또는 노드의 네 배에 대한 평균 필드 근사 유형을 고려하는 정렬의 근사 근사화에 대한 직접적인 일반화는 다루기 힘들며 여전히 매우 다른 정도의 분포 또는 평균 최단 경로 거리를 고려하지 않습니다.

• 알고리즘 진화 게임 이론의 출처

일반적으로 강력한 이론 도구 인 그래프 이론의 스펙트럼 방법에 관심이있을 수 있습니다. 그래프의 인접 행렬 (또는 그래프의 라플라시안 행렬)의 고유 값을 분석 할 수 있습니다 .

이러한 방법은 그래프의 로컬 속성 (예 : 분포)뿐만 아니라 전역 (예 : 연결, 바로 가기의 유무)도 고려합니다. 특히, 스펙트럼은 쌍, 삼각형 및 최단 경로와 직접 관련됩니다 (두 번째 참조 참조).

참고로 (나는 그들을 통해 훑어 보았지만 유용하게 보입니다) :

• 보카 레티 (S. Boccaletti) 등. (Phys Rep 2006), 복잡한 네트워크 : 구조 및 역학 (또는 here )
• K.-I. Goh et. (PRE 2001), 스케일 프리 네트워크의 스펙트럼 및 고유 벡터, arXiv : cond-mat / 0103337

질문을 공식화하는 방식은 역학에 관심이있는 것처럼 들리지만 찾고자하는 것이 안정적인 상태 솔루션 인 것처럼 보이기 때문에지면 상태는 훨씬 더 생산적인 경로처럼 보입니다.

페어 단위 근사치를 넘어서고 싶기 때문에 가장 자연스러운 후보 기법은 매트릭스 제품 상태 인 것 같습니다 . 이는 양자 지상 상태를 처리하는 데있어 매우 인기있는 주제입니다. 이 방법의 작동 방식은 기본적으로 노드간에 최대 얽힌 쌍을 도입하고 각 노드에서 프로젝터를 도입하는 것입니다. 더 높은 차원의 시스템을 추가하면 그래프의 더 많은 기능을 캡처 할 수 있습니다. 나는 당신의 문제가 양자가 아니라는 것을 알고 있지만 왜이 기술이 여전히 작동하지 않아야하는지 알지 못합니다. 얽힌 상태를 간단히 바꿀 수 있어야합니다$\frac{1}{2}(|00\rangle \langle 00| + |11\rangle \langle 11|).$

또한 이것이 당신이 찾고있는 것인지 아닌지 확실하지 않지만 스케일 프리 네트워크의 실현 가능성에 대한 최근의 결과가 있습니다. PRL. "모든 확장 성이없는 네트워크는 드물다"라는 제목의 사전 인쇄는 arXiv : 1106 : 5150 으로 찾을 수 있습니다 .

보고 싶은 두 가지 :

알고리즘 게임 이론 Ch. 7 : 그래픽 게임

진화 게임의 변동

첫 번째는 게임이나 스핀 시스템에서 평형을 찾는 방법을 설명합니다. 전략 채택을위한 특정 메타 전략 (특히 상관 평형을 초래하는 깁스 샘플링과 동일)은 매우 일반적이고 다루기 쉬운 분석을 허용합니다.

두 번째는 큰 편차 이론을 사용하여 진화 게임 이론 모델에서 큰 변동 또는 "규범"의 변화를 예측하려고 시도합니다. 다루는 예제는 소규모이지만 저자는 그가 사용하는 수학 기계를 가능한 한 일반적이고 강력하게 만들려고 시도하므로 귀하의 사례에 적용 할 수 있습니다.