일반적인 LP 솔버를 사용하지 않고 모든 계수가 1 인 엄격한 선형 불평등 시스템을 효율적으로 풀 수 있습니까?

제목에 따라 범용 LP 솔버를 사용하는 것 외에 변수에 대한 불평등 시스템을 푸는 방법이 있습니까? $x_i, \ldots, x_k$ 불평등의 형태는 $\sum_{i \in I} x_i < \sum_{j \in J} x_j$ ? 권력 집단 구성원의 합에 대한 총 질서를 구성하는 불평등의 특별한 경우는 어떻습니까? $\{x_i, \ldots, x_k\}$ ?

ds.algorithms linear-algebra linear-programming

— 존 데리
소스

@ Ankur : 정수인지 실수인지는 중요하지 않습니다. 이것들이 엄격한 부등식이라면, 그것들을 유리수로 반올림 한 다음, 최소 공통 분모를 곱하여 정수 해를 구할 수 있습니다.

— 피터 쇼어

30 분 안에 어떤 언어로 코딩 할 수 있는지 잘 모르겠습니다. 그것이 "간단한"의 기준이라면, 이것이 이론적 인 컴퓨터 과학에서 전혀 문제가 되는가?

— 이토 쓰요시

좋은 지적 피터 쇼어. jonderry, 나는 나의 진술을 되 찾는다. 이러한 엄격한 불평등을 충족시키는 조합 문제와 원뿔의 내부 점을 찾는 볼록한 분석 문제는 질적으로 구별된다고 생각했습니다. 내가 틀렸어.

— Ankur

@ 츠요시 : 사소한 것이 필요하지는 않지만, 특히 주문이있는 특별한 경우에 대해 완전한 LP 솔버의 모든 추가 힘을 사용하지 않고 첫 번째 원칙 에서이 작업을 수행 할 수 있는지 알고 싶습니다. 모든 부분 집합 합계 (이 경우 다항식 시간은 변수의 개수에 따라 지수 임)에 유의하십시오.

— jonderry

그런 다음“선형 프로그래밍에 일반 알고리즘을 사용하지 않고도이 문제를 효율적으로 해결할 수 있습니까?”라고 생각합니다. 질문을 더 잘 정리할 수있는 좋은 방법입니다.

— 이토 쓰요시

첫 번째 질문의 경우 전체 순서가 없으면 질문에 대한 대답은 본질적으로 선형 프로그래밍만큼 어렵다는 것입니다. 증명의 개요는 다음과 같습니다.

먼저 변수를 만들어 봅시다 $x_1>0$ 우리가 부르는 $\epsilon$ . 이제 다른 변수를 선택하겠습니다 $x_i$ 우리는 전화 $1$ . 우리는 확인하고 싶습니다

ϵ ≪ 1 .

$\epsilon \ll 1\, .$ 이를 위해서는 불평등을 고려하십시오

x_{1} < x_{2},

$x_1 < x_2,$

x_{1} + x_{2} < x_{3},

$x_1 + x_2 < x_3,$

x_{2} + x_{3} < x_{4},

$x_2+x_3 < x_4,$ 등등. 체인이 충분히 길면

N x_{1} < x_{i}

$Nx_1 < x_i$ 또는

ϵ < 1 / N

$\epsilon < 1/N$ 매우 큰 일부

N

$N$ (

N

$N$ 피보나치 수이며, 기하 급수적으로

i

$i$ ).

정수 계수를 가진 선형 프로그램을 만들 수 있습니다. 계수 3을 원한다면 $x_t$ 불평등을 추가합니다

x_{t} < x_{t^{'}} < x_{t^{″}} < x_{t} + ϵ

$x_t < x_{t'} < x_{t''} < x_t + \epsilon$ 및하자 3에 서 . 더 큰 계수를 원하면 계수를 이진 표기법으로 표현하고 , 등 을 보장하는 부등식을 만들어서 얻을 수 있습니다 . 우변을 얻으려면 변수 과 동일한 작업을 수행하십시오 . 이 기법을 사용하면 OP 형태의 선형 프로그램을 사용하여 정수 계수를 갖는 임의의 선형 프로그램에 대한 가능성을 대략 확인할 수 있습니다. 이는 본질적으로 선형 프로그래밍만큼 어려운 작업입니다.

x_{t} + x_{t^{'}} + x_{t^{″}}

$x_t + x_{t'} + x_{t''}$

x_{t}

$x_t$

x_{u} \approx 2 x_{t}

$x_u \approx 2x_t$

x_{v} \approx 2 x_{u}

$x_v \approx 2x_u$

x_{i} = 1

$x_i = 1$

두 번째 질문을 분석하는 방법을 모르며 모든 하위 집합에 총 순서가있는 경우에 대해 묻습니다.

— 피터 쇼어
소스