마피아는 얼마나 힘든가요?

마피아 는 파티에서 인기있는 롤 플레잉 게임이며, 자세한 설명은 wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Mafia_%28game%29 에서 볼 수 있습니다 .

기본적으로 다음과 같이 작동합니다.

• 처음에는 각 명의 플레이어에게 비밀리에 마피아 나 타운과 같은 역할이 배정됩니다. 각 역할에는 특별한 능력이있을 수 있습니다. 나중에 그것에 대해 더 많은.$N$

• 낮과 밤의 두 가지 게임 단계가 있습니다. 밤에는 마피아가 서로 비밀리에 의사 소통 할 수 있습니다. 그리고 그들은 그날 밤 살해 한 대상 플레이어 한 명에게 동의 할 수 있습니다. Day에는 모든 (살아있는) 플레이어가 공개 포럼에서 의사 소통을합니다. 플레이어는 한 명의 플레이어를 소탕하기로 동의 할 수 있으며, 모든 플레이어의 절대 다수가 필요합니다.

• 마피아 만 남아 있거나 마을 만 남아 있으면 게임이 종료됩니다. 살아남은 파티가 승리합니다.

• Citizen, Investigator 및 Mafioso의 세 가지 역할이 있다고 가정합니다. 시민은 힘이 없습니다. Mafiosi는 또한 밤에 서로 의사 소통하고 매일 밤 한 명의 살인 희생자를 투표 할 수있는 능력 외에는 능력이 없습니다. 수사관은 매일 밤 다른 플레이어 한 명을 조사하여 정확한 역할을 찾을 수 있습니다.

• 게임이 하루에 시작되고 사망시 플레이어의 역할이 드러났다고 가정

승리 전략

Investigators, Citizen 및 Mafiosi 의 설정 을 고려할 때 , Town 플레이어를위한 전략이 있다면 , 어떤 방식 으로든 승리 할 수 ​​있도록 Town 설정이 승리 한다고 말합니다 마피아가 연주합니다.$(i,c,m)$$i$$c$$m$

우리는 마피아가 그들이 결정할 수있는 모든 결정 을 설명하기를 원하기 때문에 완전한 정보를 가지고 노는 것으로 가정 할 수 있습니다.

예 : Town 의 설정 이깁니다.$(4,1,1)$

1 일 : 모든 타운 플레이어는 공개 채팅에서 자신의 역할을 진실하게보고합니다. Mafia 플레이어는 Investigator 또는 Citizen이라고 주장해야합니다.

그가 시민권을 주장하면 Mafioso는 두 명의 시민권 자 중 하나입니다. 각 Investigator는 둘 중 하나를 조사 할 수 있으며 실제 조사 대상을 찾습니다. 밤에는 최대 한 명의 수사관이 사망 할 수 있으며 다른 두 명은 단순히 Mafioso를 걸 수 있습니다.

따라서 Mafioso는 반드시 수사관을 청구해야합니다. 5 명의 Invesigators가 있다고합니다. 공개 채팅에서 조사관은 서로를 확인하는 순열에 동의합니다.

밤 1 : 수사관이 목표물을 확인하고 Mafioso가 목표물을 죽입니다.

2 일째 : 조사관 3 명이 남았습니다. 의심되는 모든 수사관이 조사 결과를보고합니다. 누가 사망했는지에 관계없이, 적어도 하나는 다른 살아있는 수사관에 의해 확인됩니다. Mafioso는 Investigator를 주장했기 때문에 자신이 할당 한 대상이 Mafia인지 아닌지를 말해야합니다. 그가 어떤 사람을 프레임하면, 타운은 자신 또는 프레임 된 사람이 다른 3 개의 마을에 대해 마피아라는 것을 알게됩니다. 만약 그가 어떤 사람을 구하지 않으면 3 개의 확인 된 도시도있을 것입니다. 어느 쪽이든, 교수형에 처하지 않고, 단 두 명의 용의자를 조사하는 것은 타운에서 승리합니다.

질문

• 주어진 설정이 Town의 승리 전략을 인정하는지 여부를 결정하기가 얼마나 어렵습니까? 직관적으로 이것은 -complete 문제 처럼 들립니다 . 아무도 축소를 생각해 낼 수 있습니까?$PSPACE$
• 우리는 최소한의 승리 설정을 찾을 수 있습니까? 에서와 같이 비율 또는 을 최소화 할 수 있습니까?$i:m$$(i+c):m$

다음은 참고할 내용입니다. http://www.jstor.org/stable/10.2307/25442651

Mafia : 부분 정보 환경에서 플레이어와 연합에 대한 이론적 연구 Braverman, M. 및 Etesami, O. 및 Mossel, E. 2008 년

우선, 우리가 Town의 결정적인 승리 전략을 찾고 있다면 각 시민에게 역할을 요구하는 것으로 게임을 시작하는 것이 항상 수혜자입니다. 그것은 Mafiosi가 자신이 마을을 이겼다고 선언 한 것이라도, 요구하는 것은 분명히 해가되지 않기 때문입니다. 그리고 Mafiosi가 스스로 무언가를 선언하고 그 경우에 이길 수 있다면, 그들은 선언을 한 척하고 그에 따라 행동합니다.

또한 이와 같은 게임은 기본 구조가 없으므로 PSPACE가 완료되지 않을 수 있습니다. 나는 i, c, m의 모든 값에 대해 게임을 분석하는 것이 어렵지 않다고 강력하게 믿는다. 아래에서는 m = 1에 대해이 작업을 수행합니다. 이제부터 하나의 mafioso, M 만 있고 게임이 역할을 묻는 것으로 시작한다고 가정 해 봅시다. 이제 M은 수사관이나 시민을 주장합니다. 두 경우 모두 확인하겠습니다.

사례 1 : M 클레임 조사관

i = 0이면 c가 2 이상이면 Town이 승리합니다.

i가 1이면 c가 4 이상이면 Town이 승리합니다. 숫자가 작을수록 M은 매일 밤 시민을 죽일 수 있기 때문에집니다.

i = 2이면 c가 3 이상이면 Town이 승리합니다. 그들 중 하나가 죽지 않으면 M이 밝혀 지므로 수사관을 죽여야합니다. 게임을 i = 1로 줄입니다.

i = 3이면 c가 1 이상이면 Town이 승리합니다. 의심되는 조사관 4 명은 순환 순서로 서로를 요청할 수 있습니다. 그들 중 하나가 죽지 않으면 M이 밝혀 지므로 수사관을 죽여야합니다. 이제 M에게는 두 가지 가능성이 있으며 최소한 5 명은 남았으므로 둘 다 죽일 수 있습니다. 만약 c = 0이라면, 그들이 어떻게 물어 보더라도, M은 항상 누군가를 죽이고 (사례 분석에 의해) 숨겨져있을 수 있으므로, 타운은 결정론적인 승리가 없습니다.

i> = 4이면 Town은 i = 3의 경우처럼 원형 순서로 서로를 요구하는 조사관에 의해 승리합니다.

사례 2 : M은 시민을 주장

여기서 게임은 훨씬 간단합니다. 수사관은 매 라운드마다 다른 사람들에게 묻고 M은 매일 밤 그들 중 하나를 죽입니다 (시민보다 수사관을 죽이는 것이 항상 좋습니다). 또한 때때로 시민을 죽이기로 투표 할 수도 있습니다 (사실 i = 2, c = 1이 아니라면 항상 그렇게해도됩니다). 재귀를 사용하기 때문에 시민들도 결백하고 n으로 숫자를 표시하는 것이 좋습니다.

타운이 이길 경우

i = 0, n> = c + 2, i = 1, n> = c + 1, i = 2, n> = c-2이며, 여기에서 일반적인 i Town에 대한 정보를 쉽게 확인할 수 있습니다. n> = c + 2-i ^ 2 인 경우에만 승리합니다. 실제 게임에서 처음에는 무고한 시민이 없기 때문에 i ^ 2> = c + 2이면 Town이 승리 함을 의미합니다.

종합하자 : i <= 2 인 경우 타운은 결정 론적 승리가 없습니다. i = 3의 경우 Town은 1 <= c <= 7에서 승리합니다 (0M은 조사자를 청구 할 수 있고 c> = 8은 시민을 청구 할 수 있음). i> = 4의 경우 Town은 c <= i ^ 2-2를 얻습니다.