"채색 행렬"의 존재

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정의

허락하다 $c$ 과 $k$정수 여야합니다. 우리는 표기법을 사용합니다$[i] = \{1,2,...,i\}$.

ㅏ $c \times c$ 매트릭스 $M = (m_{i,j})$ 라고합니다 $c$-에-$k$다음과 같은 경우 채색 행렬 :

• 우리는 $m_{i,j} \in [k]$ 모든 $i, j \in [c]$,
• 모든 $i,j,\ell \in [c]$ 와 $i \ne j$ 과 $j \ne \ell$ 우리는 $m_{i,j} \ne m_{j,\ell}$.

우리는 쓴다 $c \leadsto k$ 존재하는 경우 $c$-에-$k$ 착색 매트릭스.

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대각선 요소는 관련이 없습니다. 우리는 비 대각선 요소에만 관심이 있습니다.$M$.

다음과 같은 대체 관점이 도움이 될 수 있습니다. 허락하다$R(M,\ell) = \{ m_{\ell,i} : i \ne \ell \}$ 행의 비 대각선 요소 집합 $\ell$, 마찬가지로 보자 $C(M,\ell) = \{ m_{i,\ell} : i \ne \ell \}$ 열의 비 대각선 요소 집합 $\ell$. 지금$M$ 이다 $c$-에-$k$ 착색 매트릭스 iff

$$R(M,\ell) \subseteq [k], \quad C(M,\ell) \subseteq [k], \quad R(M,\ell) \cap C(M,\ell) = \emptyset$$ 모든 $\ell \in [c]$. 즉, 행$\ell$ 그리고 열 $\ell$ (대각선을 제외하고) 별개의 요소로 구성되어야합니다.

해석하려고하면 도움이 될 수도 있고 아닐 수도 있습니다 $M$ 특별한 해시 함수로서 $[c]^2$ 에 $[k]$.

예

여기에 $6$-에-$4$ 착색 매트릭스 :

$$\begin{bmatrix} -&2&2&1&1&1\\ 3&-&3&1&1&1\\ 4&4&-&1&1&1\\ 3&2&2&-&3&2\\ 4&2&2&4&-&2\\ 3&4&3&4&3&- \end{bmatrix}.$$

일반적으로 $n \ge 2$ 우리는

$${2n \choose n} \leadsto 2n.$$ 예를 들어 $20 \leadsto 6$ 과 $6 \leadsto 4$. 이를 확인하기 위해 다음 구성을 사용할 수 있습니다 (예 : Naor & Stockmeyer 1995).

허락하다 $c = {2n \choose n}$ 그리고하자 $k = 2n$. 허락하다$f$ 거부하다 $[c]$ 모두의 집합에 $n$-서브셋 $[2n]$, 그건, $f(i) \subseteq [2n]$ 과 $|f(i)| = n$ 모든 $i$. 각각$i,j \in [c]$ 와 $i \ne j$임의로 선택하십시오

$$m_{i,j} \in f(i) \setminus f(j).$$

참고 $f(j) \setminus f(i) \ne \emptyset$. 구성이 실제로 색상 표인지 확인하는 것은 간단합니다. 특히, 우리는$R(M,\ell) = f(\ell)$ 과 $C(M,\ell) = [k] \setminus f(\ell)$.

질문

위의 구성이 최적입니까? 그렇지 않으면, 우리는 가지고 있습니까

$${2n \choose n} + 1 \leadsto 2n$$ 어떠한 것도 $n \ge 2$?

상기 구성은 무증상 인 것으로 잘 알려져있다. 반드시$k = \Omega(\log c)$. 이는 예를 들어 Linial (1992)의 결과 또는 Ramsey 이론의 간단한 적용에서 비롯됩니다. 그러나 나에게도 건설이 일정한지 여부는 확실하지 않습니다. 일부 수치 실험에 따르면 위의 구성이 최적 일 수 있습니다.

자극

문제는 그래프 채색을위한 빠른 분산 알고리즘의 존재와 관련이 있습니다. 예를 들어, 지시 된 트리 (루트 노드를 향한 모든 모서리)가 제공되고 적절한 트리가 제공되었다고 가정합니다$c$나무의 채색. 이제 적절한 계산을하는 분산 알고리즘이 있습니다$k$ 나무의 채색 $1$ 다음과 같은 경우에만 동기식 통신 라운드 $c \leadsto k$.

구조는 최적의 의미에서 $\binom{2n}{n}+1 \leadsto n$붙잡을 수 없습니다. 실제로, c -to- k 채색 행렬 은 집합 {1,…, k }의 c 서브 세트 A ₁ ,…, A _c 가 존재하는 경우에만 존재하며 , 따라서 고유 한 i 및 j가 A를 만족시키지 않는 경우 가 있음을 쉽게 알 수있다 _I ⊆ _J . ( "만 if"방향의 경우 , c - k k 채색 행렬 M에 대해 A _i = R ( M , i )을 취 하십시오. "if"방향에 대해서는 m _ij를 설정하십시오∈ _I ∖ _J 세트 없음.)를 패밀리는 다른이 호출 포함 Sperner 가족 , 그리고 크기의 우주에 Sperner 가족 세트의 최대 수 있다는 슈 페르 너의 정리이고 K는 인$\binom{k}{\lfloor k/2\rfloor}$. 이것은$c \leadsto k \iff c \le \binom{k}{\lfloor k/2\rfloor}$.

약간 더 단단한 점근선의 경우 다음을 증명할 수 있습니다.

만약 $c \leadsto k$그런 다음 $c \leq 2^k$

채색이 있다고 가정합니다. $c \times c$ 사용하여 매트릭스 $k$그림 물감. 이제 매트릭스의 각 행에 포함 된 색상 세트로 색상을 지정하십시오. 이는 하위 집합을 사용하여 행을 채색합니다.$[k]$. 행마다 색이 달라야합니다. 그렇지 않으면$i \lt j$행 $i$ 행과 같은 색을 가짐 $j$. 그 색의 의미$(i,j)$ 두 줄에 모두 있습니다 $j$ 그리고 열에 $j$우리가 채색으로 시작했다는 사실과 모순됩니다. 그것은 다음과 같습니다$c \leq 2^k$