이중 그래프 찾기

Gross and Tucker의 Topological Graph Theory에 따르면 , 표면에 그래프를 셀에 삽입 하면 ( '표면'으로 여기에 핸들 이있는 구를 의미하며, S n 아래 에 정확히 n이 있는 구를 나타냅니다 원래 그래프의면을 꼭짓점으로 처리하고 해당면이 원본 그래프에서 공통으로 갖는 모든면에 대해 두 꼭짓점 사이에 가장자리를 추가하여 이중 다중 그래프를 정의 할 수 있습니다.$n\geq 0$$S_n$$n$

여기 내 문제가 있습니다. 그래프 주어 , I는 찾아야 다른 그래프 G ' 표면이 존재하도록 S 및 셀룰러 매립 G 에서 S가 되도록 G는 ' 이 매립 듀얼 인 G . 가능한 많은 그래프 G ' 가 있음을 알고 있습니다 . 모든 그래프 G에 대해 하나만 찾으면됩니다 .$G$$G'$$S$$G$$S$$G'$$G$$G'$$G$

몇 가지 질문이 있습니다. 나의 현재 전략 속을 결정 (1)이고 의 G (2)의 임베딩 찾을 G 에서 S , N , 및 (3)이 매립 듀얼을 찾기. 모든 단계에는 알려진 알고리즘이 있습니다 (1은 NP-Hard 임에도 불구하고). 이 방법의 병목 현상이기 때문에 속의 계산을 우회 하는 G ' 를 찾는 방법이 있는지 궁금합니다. 이것이 나의 첫 번째 질문입니다. 두 번째 질문은 다음과 같습니다. 만약 G 가 규칙적 이라는 것을 안다면 그 속의 계산을 쉽게 할 수 있습니까? 그리고 세 번째 질문은이 문제를 해결하는 데 도움이되는 참고 문헌을 요청하는 것입니다.$n$$G$$G$$S_n$$G'$$G$

당신의 듀얼은 최소한의 속이어야합니까? 그래프의 셀룰러 임베딩을 찾는 것은 사소한 일이므로, 각 정점에 임의로 들어오는 에지의 원형 순서를 선택한 다음 선택한 순서와 일치하는 에지 시퀀스로 포함의면을 결정하십시오.

나는 Bennington and Little이 쓴 Foundations of Topological Graph Theory 책의 임베딩에 대한 GEM (graph-encoded map) 표현을 좋아합니다. 이 표현에서 임베딩은 임베딩의 모든 플래그에 대해 하나의 꼭지점 (정점, 모서리 및면의 삼중 인시던트)과 다른 두 플래그에 대해 하나의 모서리가있는 3 가장자리 색의 3 색 정규 그래프로 표시 그것들이 나타내는 정점 / 가장자리 /면 세트의 요소 중 하나만. 예를 들어, Wikipedia의 아래 이미지는 정 십이 면체의 GEM으로 해석 될 수 있는데, 여기서 빨간색주기는 얼굴을 나타내고 노란색주기는 가장자리를 나타내며 파란색주기는 정점을 나타냅니다. 모서리는 두 입사면의 색상에 따라 색상이 지정 될 수 있습니다.

그래프 G의 모서리의 순환 순서가 주어지면, GEM은 G의 각 d-d 정점에 대해 2d 정점의주기를 만들고, 각 모서리에 대해 2 개의 정점의주기를 만들어 각 입사 모서리에 대한 정점 쌍을 선택한 원형 순서대로 순환 한 다음 G의 각 끝점 e에 대해 e의 두 끝점에 대한 두 쌍의 GEM 모서리를 직사각형으로 연결합니다. 이 네 정점을 직사각형에 연결하는 방법의 선택을 중심으로 포함하려면 원형 순서와 일치해야합니다. 그렇지 않으면 임의적 일 수 있습니다.

그런 다음 G 임베딩의 정점, 모서리 및면은 세 가지 모서리 색상 중 두 가지 사이를 번갈아 가며 GEM의 주기로 표시됩니다. G의 이중은 기본 3 개의 정규 그래프와 동일하지만 두 가지 가장자리 색상이 교환 된 GEM으로 표시됩니다. 그리고 GEM으로 표현 된 그래프는 모든 정점 사이클을 축소하고 한 쌍의 평행 한 모서리를 단일 모서리로 병합하여 형성 할 수 있습니다. 따라서 선형 시간으로 쉽게 수행 할 수있는 G의 이중 (어떤 이중을 신경 쓰지 않는 한)을 구성 할 수 있습니다.