P에는 PA 또는 ZFC와 독립적 인 언어가 포함되어 있습니까? (TCS 커뮤니티 위키)

답 : 알 수 없습니다.

질문은 자연스럽고 개방적이며 명백히 어렵습니다. 이제 질문은 커뮤니티 위키입니다.

개요

이 질문은 복잡도 클래스 속하는 언어 $P$  (이러한 언어를 허용하는 의사 결정 Turing Machine (TM))와 함께 두 개의 보완 서브 클래스 로 나누려고합니다 .

• 영지 언어 및 TM (유효성 / 이해가 가능한)과
• 암호 언어 및 TM (유효성 / 이해 불가능)

정의 : gnostic vs cryptic numbers, TM 및 언어

공리 프레임 워크 PA 및 ZFC 내에서 , 우리는 다음과 같이 암호화 튜링 머신 및 언어와 gnostic을 구분합니다.

D0는   우리는 말할 계산 가능한 실수  인 영지주의 가 개의 TM의 비어 있지 않은 세트에 관련되어 IFF에, 보편적 인 TM에 유효한 코드를 포함하는 숫자의 명시 적 목록으로 PA에 지정된 각 TM과 같은 어떤 정확성에 대해 그 이 입력으로 제공되면, 각각의 TM 은 (ZFC에서) 만족시키는 출력 번호 를 가지고 정지 합니다.$r$$\epsilon\gt0$$o$$r-\epsilon\lt o\lt r+\epsilon$

비고   일부 계산 가능한 실수는 무시할 수없는 것으로 알려져 있습니다 (구체적인 예 는 jkff의 질문 " 비 구조적 알고리즘 존재 증명이 있습니까? "에 대한 Raphael Reitzig의 답변 참조 ). 이러한 계산 가능하지만 어색한 숫자로 인한 문제를 피하기 위해 런타임 지수는 PA에서 명시 적으로 열거 된 TM (ZFC에 암시 적으로 지정된 TM과 대조적으로)에 의해 계산 가능한 것으로 제한됩니다. 자세한 내용은 정의 고려 사항 (아래) 섹션을 참조하십시오 .

이제 복잡성 클래스 (지능적) 런타임 지수 하한을 확실하게 할당 할 수없는 암호 언어 의 하위 집합이 포함되어 있다는 직관을 포착하는 정의를 찾습니다 . $P$

결론적으로, 결론 정의 ( D5 )는 정식 암호 결정 TM 의 아이디어를 규정하며 , 그 정의는 계산적으로 불필요한 에피 계산을 오버레이함으로써 암호 계산을 (사소하게) 마스킹하는 감소를 방지하기 위해 만들어졌습니다. 이 핵심 정의의 이론적 근거와 출처는 나중에 ' 정의 적 고려 사항' 이라는 제목 아래에서 논의  되며 Timothy Chow, Peter Shor, Sasho Nikolov 및 Luca Trevisan의 의견 기여는 감사하게 인정됩니다.

D1   모든 입력 문자열에 대해 정지하는 튜링 머신 M을 감안할 때, M은 다음과 같은 진술이 적어도 하나의 gnostic 실수 대해 증명 가능하거나 반박 할 수없는 경우  암호 라고합니다 .$r \ge 0$

명령문 : M의 런타임은 입력 길이 과 관련하여 입니다.${O}(n^r)$$n$

암호화되지 않은 튜링 머신은 gnostic TM입니다.

D2   우리는 M이 받아들이는 언어 L이 보다 작은 gnostic runtime exponent를 갖는 다른 TM에 의해 받아 들여지지 않도록  turing machine M이 gnostic runtime exponent 갖는 경우  효율적 이라고 결정한다 .$r$$r$

D3   우리는 (a)  적어도 하나의 튜링 머신 M이 효율적이고 암호적인 언어이고, (b)  효율적이고 무시할 수있는 TM이 L을 받아들이지 않는 한 언어 L이 암호화되어 있다고 말한다 .

다른 방식으로 D3 를 표현하기 위해 , 언어를 가장 효율적으로 받아들이는 TM 자체가 암호화되어 있기 때문에 언어는 암호화되어 있습니다.

우리가 말하는 비식이 아닌 언어 는 영지적인 언어입니다.

D4   우리는 cryptic TM이 받아들이는 언어가 cryptic이라면 cryptic 이라고 말합니다 .

D5   우리는 강력한 암호 TM 이 효율적이라면 표준 암호 라고 말합니다 .

D5를 다른 방식으로 표현하기 위해 , 모든 암호 언어는 정식 암호 결정 TM 세트에 의해 받아 들여지며, 이는 해당 언어를 받아들이는 가장 효율적인 결정 TM입니다.

질문

다음과 같은 추측 C0 은 자연스럽고 개방적입니다.

C0   복잡성 클래스 P는 하나 이상의 암호 언어를 포함합니다.

Q1 – Q3의 세 가지 질문이 있으며 그 중 첫 번째 질문은 다음과 같습니다.

Q1이   는 IS C0의 PA 또는 ZFC의 추측 독립적?

아마도 ZFC에서 또는 ZFC를 보완하는 독립적 인 공리로서 C0 이 사실 이라는 가정하에 두 가지 추가 질문이 자연 스럽습니다.

Q2 P   에서 적어도 하나의 암호 언어를 구체적으로 표현할 수 있습니까? 즉, 지정된 길이까지의 모든 단어를 포함하는 유한 알파벳의 명시 적 단어 사전으로 표시 할 수 있습니까? 그렇다면 그러한 사전을 전시하십시오.

Q3   적어도 하나의 정식 암호 결정 TM을 구체적으로 제시 할 수 있습니까, 즉 Q2 사전의 모든 단어를 (다항식으로) 결정하는 물리적 튜링 머신을 구축하기위한 설명으로 가능 합니까? 그렇다면 그러한 Turing 기계를 구성하고이를 사용하여 Q2 의 암호 언어 사전을 전시하십시오 .

정의 고려 사항

정의 D0 은 모든 gnostic 실수가 계산 가능하다는 것을 암시하지만 일부 계산 가능한 실수는 gnostic 이 아닌 것으로 알려져 있습니다. 예를 들어,에 대한 답변을 참조 MathOverflow 로 의 Michaël Cadilhac 와 라이언 윌리엄스 와의 TCS StackExchange 에 의해 라파엘 Reitzig을 . 보다 일반적으로 정의 D0–D5 는 비 지시적 런타임 지수에 대한 참조를 제외하도록 만들어졌습니다.

TCS 위키 " P에 이해할 수없는 언어가 포함되어 있습니까? "에 정의 된 정의 D0–D5 는 모든 암호 언어가 표준 적으로 암호화 된 하나 이상의 TM에 의해 허용되도록합니다. (현재의 질문에서 "cryptic"이라는 단어는 위키에서 사용되는 덜 이해하기 쉬운 단어 인 "알 수없는"을 대체합니다).

또한, D3 (a) 및 D3 (b)의 관점에서  , 동일한 언어를 입증 할 수있는 gnostic TM으로 정식 암호 TM의 계산 상 사소한 감소는 존재하지 않습니다. 특히, D3의 (a) 와 D3 (B) 방해 polylimiter의 별 댓글에 설명 된 감소 전략 피터 쇼어을 , 그리고에 의해 Sasho 니콜 로프 , 독립적으로 루카 트레비 산 , 그리고 방해한다 너무 다항식 클럭 의 감소 전략 디모데 차우 모두, 그중에서도 계산적으로 불필요한 에피 계산을 오버레이하여 암호 계산을 마스킹 합니다.

일반적으로, "지능적"및 "암호 적"의 정의는 수학적으로 사소한 감소와 관련하여 견고하게 조정된다 (그리고 이러한 정의의 추가 조정이 바람직 할 수 있음).

방법 론적 고려 사항

랜스 포트 노프의 검토 " P 대 NP 문제의 상태 "는 복잡성 이론에서 추측의 독립성 (또는 그 밖의)을 확립하기위한 방법을 조사한다. Lance 검토 방법이 Q1 에 대한 답변을 제공하는 방법에 대한 제안이 특히 바람직 합니다.

더 많은 질문이 자연 스럽다는 것이 분명합니다. 예를 들어, Hartmanis-Stearns 추측은 우리에게 "암호적인 실시간 멀티 테이프 튜링 머신이 존재합니까? PA 또는 ZFC와 독립적입니까?"

Zeilberger 유형 고려 사항

하는 경우에는 Q1이 "예"라고 응답한다, 다음에 회원 자격을 결정 신탁 PA 또는 ZFC의 외부에 존재하기 때문에, 현대의 복잡성 이론의 필수 요소는 어떤 공식적인 시스템 내에 상주에 알려지지 않은 (현재)이다 논리. $P$

이와 관련하여 복잡성 이론은 Doron Zeilberger가 최근의 " 의견 125 "에서 표현한 이해와 같이 대부분의 수학적 학문과 차별화됩니다 . 이제 Alan Turing이 100 세가되었으므로 이제 그의 공헌에 대해 신선한 시각을 가질 때가되었습니다. , 그것은 많은 선한 일을했지만 많은 해를 끼쳤다 .

Zeilberger의 우려는 Z0    (! Q1  ) && (! C0  ) 기준으로 명시 적 형식을 취 하며 이는 다음 기준과 같습니다.$\equiv$

Z0 :   Zeilberger의 감수성 기준   복잡성 클래스 P의 정의를 Zeilberger-sensible   이라고 합니다. P의 모든 언어가 확실하게 무의미 합니다.

현재 복잡성 클래스 P 에 대한 Stephen Cook의 정의   가 Zeilberger에 민감한 지 여부는 알려져 있지 않습니다 .

동기 부여 고려 사항

"지능적"과 "비밀 한"의 정의는 다음과 같이 (결국) 추측을 결정하기 위해 만들어졌습니다.

C1 및 N P ' 를 P 및 N P resp 의 불가지론 적 제한   이라고하자 . 그런 다음 P ' ≠ N P ' 는 PA 또는 ZFC에서 증명 가능하거나 반박 가능합니다.$P'$$NP'$$P$$NP$$P' \ne NP'$

C2   (PA 또는 ZFC에서 명시 적으로 입증 된 바와 같이)$P' \ne NP'$

분명히 C2   C1 이며, 반대로 (메타) 정리 C1 의 증거가 (더 강한) 정리 C2 의 증거에 대한 지침을 제공 할 수 있습니다 .$\to$ 

전체적인 동기는 기대와 직관 / 희망이다. gnostic과 cryptic TM과 언어 사이의 잘 조정 된 구별을 위해 C1 과 C2 의 증거 는 아마도 훨씬 더 깊고 더 깊은 것으로 밝혀 질 수 있으며 심지어 실질적인 영향을 줄 수도있다. 임을 증명합니다 . $P\ne NP$

Juris Hartmanis는이 조사 라인을 진지하게 추구 한 최초의 복잡한 이론가들 중 하나였습니다. 예를 들어 Hartmanis의 논문 실행 가능한 계산 및 복잡성 속성 (1978)을 참조하십시오 .

명명법 고려 사항

옥스포드 영어 사전 (OED)에는 다음이 있습니다.

• 지식과 관련된 영지 (adj)  ; 인지; 지적인   "그들 [수]]은 활기차고, 영리하며, 투기 적이지만 존재하지는 않습니다."

• 비밀 (수정)  즉시 이해할 수없는; 신비 롭고 수수께끼 같은   "인류에게 유용한 일반 규칙 대신에, 그들은 [철학자들은] 파산과 어두운 문장을 쫓아냅니다."

분명히 어떤 수학 검토도 어떤 의미에서 "지능"이라는 단어를 사용하지 않았습니다. 그러나 Marcus Kracht의 최근 기사 인 " Gnosis "( OJS ( Journal of Philosophical Logic , MR2802332))에 주목합니다.

복잡도 이론과 관련하여 기술적 의미에서 "암호 적"이라는 단어를 사용한 수학적 검토는 없습니다. 그러나 Charles H. Bennett의 기사 " 논리적 깊이 및 물리적 복잡성 "( Universal Turing Machine : Half-Century Survey , 1988)에 주의를 기울 였습니다 .

물체와 관련된 또 다른 종류의 복잡성은 물체를 감안할 때 그럴듯한 가설을 찾는 것이 어렵다는 것입니다. 이러한 종류의 복잡성을 갖는 객체는 "암호화" 라고 불릴 수 있습니다 . 객체의 그럴듯한 원점을 찾는 것은 암호화를 푸는 것과 같습니다.

자연성, 개방성 및 어려움에 대한 고려

이 질문의 자연성 은 Juris Hartmanis의 논문 타당성 계산 및 입증 가능한 복잡성 속성 (1978) 의 논문을 보여줍니다 .

"우리가 공식적으로 증명할 수있는 계산의 속성만을 고려하면 알고리즘의 복잡성에 대한 결과는 상당히 급격히 변합니다."

이러한 질문의 개방성과 어려움은 랜스 포트 노프의 " P 대 NP 문제의 상태 "(2009) 의 결론과 크게 일치 합니다.

"우리 중 어느 누구도 P 대 NP 문제를 이해하지 못하고, 점점 복잡 해지는이 질문에 대한 막을 벗겨 내기 시작했습니다."

위키 안내

특히 질문 Q1–Q3 과 관련되고 Hartmanis 형 추측 C1–C2를 광범위하게 비추는 정의 조정 및 증명 전략이 특히 요구됩니다 .

나는 당신이 여기에서 묻는 질문에 근본적인 어려움이 있다고 생각합니다 (그리고 당신은 이해할 수없는 언어에 대한 관련 질문을했습니다).

대략적으로 말하면, 당신이 언어 찾고있는 것 같다 그러한를$L$

하지만 ZFC는 모르는 L ∈ P를 .$L\in P$$L\in P$

귀하의 질문에 대한 어려움을 이해하기 위해서는 먼저 언어 L 의 강의 정의 와 확장 정의 사이에 근본적인 차이가 있음을 이해해야한다고 생각합니다 . 확장 적으로 L 은 L의 멤버이거나 아닌 단어에 의해 결정됩니다 . 즉, 두 언어 L 과 L ' 는 멤버와 정확히 같은 단어를 포함하는 경우에만 확장 적으로 동일합니다. 반면에서, 내포 정의 L은 일부 설명 조건 단어 판정 용 L이 . L을받는 튜링 머신$L$$L$$L$$L$$L'$$L$$L$$L$또는 일차 식 만 보유하고있는 경우 , X ∈ L , 내포의 정의로 간주 될 수있다 L .$\phi(x)$$x\in L$$L$

요점은 모든 점이다 에서 (여러모로)는 P가 있기 때문에, 매우 간단 설명을 인정 P는 소위 "구문"복잡성 클래스입니다. 즉, 원하는 시간만큼 정확하게 종료 되는 다항식 클럭 튜링 기계를 사용하십시오. 이러한 PA 또는 ZFC, 같은 일을 수학에 대한 모든 "합리적인"시스템은 입증 할 수있을 것입니다 L ∈ P를 당신이 간단한 설명을 사용하는 경우 L을 .$L$$P$$P$$L\in P$$L$

당신이 ZFC을 혼란스럽게하려는 경우, 당신은 몇 가지 (내포) 설명과 함께 올해야 할거야 ZFC가의 간단한 설명에 해당하는 것으로 인식하는 "너무 복잡"있는 L . 이것은 가능하지만 어떤 의미에서는 재미 있기 쉽지 않습니다. ZFC가 이해하지 못하는 것 (예 : 자체 일관성)을 취하여 L 의 정의와 혼합하는 것입니다 . 예를 들어 다음은 정수 세트에 대한 설명입니다.$L$$L$$L$

는 짝수이며 x 는 ZFC가 일관성이 없다는 증거를 인코딩하지 않습니다.$x$$x$

ZFC가 일관성이 있다고 가정하면 위의 공식은 짝수의 정수를 정의하지만 ZFC는이를 모릅니다. 좀 더 땜질하면 ZFC가 로 증명할 수없는 정수 세트에 대한 설명을 쉽게 얻을 수 있습니다 .$P$

결론적으로 당신은 그것이 어려운 이유는 것을 증명하기를 희망하는 경우이다 에서 언어 있다는 것입니다 P 에 대한 이유를 우리는 "너무 복잡"있다, 나는 당신이 잘못을 짖는 것 같아요 나무. 여러모로, 모든 언어 P는 에 P 사소한 이유. P 에서 언어에 대해 불투명 한 설명을 사용하여 물을 흐릿하게 만들 수는 있지만 P 와는 아무런 관련이없는 일반적인 속임수 이므로 많은 통찰력을 얻지 못한다고 생각합니다.$P\ne NP$$P$$P$$P$$P$$P$

Q1 : $\:$
Q2 없음 :$\:$ 예, 이진에서 최소 2-1

렘마 : $\:$ 계산 가능 런타임 지수가 1 이상인 모든 TM은 초월 적입니다.

증명 :
A와 B는 재귀 적으로 분리 할 수없는 세트 입니다.$\:$ A를 열거하는 튜링 머신이라고 하자 .$M_0$$\:$ B를 열거하는 튜링 머신이라고 하자 .$M_1$$\;\;$계산 가능한 런타임 지수 R 어떤 튜링 기계 용 때 는 [ M 0 이 정확히 s 단계에서 m을 받아들이 면 r + (1 / t)이면, M 1 이 정확하게 s 단계에서 m을 받아들이 면 r- (1 / t), 그렇지 않으면 r]로 정의되며, 모든 r m 은 부정적이고 계산 가능하며 항상$\langle r_0,r_1,r_2,r_3,...\rangle$$M_0$$M_1$$r_m$$\:m\in A\:$ 그런 다음 D1의 진술은 사실이며] $\:m\in B\:$ D1의 진술은 거짓이다]. $\;\;$계산 가능한 런타임 지수 R 어떤 튜링 기계 용 때 는 위와 같이 정의된다. A와 B는 재귀 적으로 분리 할 수 ​​없기 때문에, r m 을 갖는 D1의 진술이 입증 가능하거나 반박 할 수없는 적어도 하나의 m이 존재한다 .$\langle r_0,r_1,r_2,r_3,...\rangle$$r_m$$\:$따라서 튜링 기계는 초월 적입니다.


정의 :
이진법 at-least-two-1s-in-inary는 이진
표현이 적어도 2 개의 1을 갖는 음이 아닌 정수 세트입니다 .$\:$ (하지만 당신은 결코 추측하지 않았을 것입니다 ^ _ ^)

정의 :
M은
입력 의 이진 표현을 스캔하고 두 개 이상의 1을 발견하면 수락하고 그렇지 않으면 거부 하는 Turing 기계입니다 .

분명히, M은 2 진에서 최소 2-1을 결정하고 런타임 지수 1을 가지며, 런타임 지수가 더 작은 다른 Turing 머신도 2 진에서 최소 2-1을 결정하지 않습니다.
사소한,$\: 1\leq 1 \:$및 계산 가능하다.$1$$\;\;$Lemma에 의해 M은 효율적이고 초월 적입니다.
이진에서 최소 2-1의 의미는 또한 초월 적이라는 의미입니다.

따라서 TPCCC는 PA (및 ZFC)의 정리이며, 이진법에서 최소 2-1은
구체적인 초월 언어입니다.

$x_n := 2 + \sum_{i=0}^n [1/2^i \mbox{ if $i$ encodes a proof that $\bf{ZF}$ is inconsistent, and 0 otherwise}]$$n$$x_n$$x_n$$x := 2 + \sum_{i=0}^\infty [1/2^i \mbox{ if $i$ encodes a proof that $\bf{ZF}$ is inconsistent, and 0 otherwise}]$

$x$$\bf{ZF}$

$x > 1$$M'_x$$n$$N$$s$$N$$s$$|s|^x/\log(|s|)$$x$$M_x$$M'_x$$M_x$$M_x$$\mathcal O(|s|^y)$$y\ge x$$M_x$

$x$$M_x$$\mathcal O(|s|^2)$$x = 2$$\bf{ZF}$$\bf ZF$$\bf ZF$$M_x$$\bf ZF + Con(\bf ZF)$

$\bf ZF + \not Con(\bf ZF)$$\bf P$$\bf ZF$$\mathcal O(|s|^z)$$z$$\bf ZF$

$M_x$