카드 게임 당첨자의 단순화 된 버전

만족스러운 답변없이 MathOverflow 에서이 문제를 물었습니다 .

Winner 라는 카드 게임을 단순화 한 다음 2 인 게임을 고려하십시오 . (다음 공식은 MathOverflow에 대한 Guillaume Brunerie의 의견에서 발췌 한 것입니다.)

두 명의 플레이어 A와 B가 있습니다. 각 플레이어에는 두 플레이어가 볼 수있는 카드 세트 ( 의 하위 세트 )가 있습니다. 게임의 목적은 자체 카드를 제거하는 것입니다. 첫 번째 플레이어는 테이블에서 어떤 카드를 플레이 한 다음 다른 플레이어는 (엄격한) 더 큰 카드를 플레이해야하며, 플레이어 중 하나가 플레이 할 수 없거나 패스하기로 결정할 때까지 계속해야합니다. 그런 다음 테이블의 카드를 버리고 다른 플레이어는 카드를 재생하여 다시 시작합니다 (더 큰 카드가 뒤 따릅니다). 그리고 두 플레이어 중 하나가 카드를 다 써서 게임에서 이길 때까지 계속됩니다. $\{1,\dots,n\}$

선수를위한 최고의 전략을 알고 싶습니다 (이기는 경우).

공식적인 정의

는 첫 번째 플레이어의 카드 세트 가 이고 두 번째 플레이어의 카드 세트가 이고 테이블에서 가장 큰 카드가 인 게임 구성을 나타냅니다 . 여기서 테이블에 카드가 없음을 의미합니다. 를 고려하여 첫 번째 플레이어가 구성 에서 승리 전략을 가지고 있는지 여부 를 계산하는 알고리즘을 원합니다 . $w(i,A,B)$ $A$ $B$ $i$ $i=0$ $i,A,B$ $w(i,A,B)$

공식적으로, 나는 다음과 같이 정의 된 함수 를 계산하는 알고리즘을 원합니다 . $f$

하자 , . $\mathbb{Z}_n = \left\{1, 2, \cdots, n\right\}$ $\mathrm{Bool} = \left\{\mathrm{False}, \mathrm{True}\right\}$

함수 $f:\;\left\{ 0, 1, \cdots, n \right\} \times 2^{\mathbb{Z}_n} \times 2^{\mathbb{Z}_n} \to \mathrm{Bool}$

여기서

f (i, A, B) = {\begin{cases} F a l s e & B = \emptyset \\ T r u e & B \neq \emptyset \land \exists j \in A : j > i, f (j, B, A - {j}) = F a l s e \\ T r u e & B \neq \emptyset \land f (0, B, A) = F a l s e \\ F a l s e & otherwise \end{cases}

$f ( i, A, B ) = \begin{cases} \mathrm{False} & B = \emptyset \\ \mathrm{True} & B \ne \emptyset \land \exists j \in A: j > i, f(j, B, A - \left\{j\right\}) = \mathrm{False} \\ \mathrm{True} & B \ne \emptyset \land f(0, B, A) = \mathrm{False} \\ \mathrm{False} & \textrm{otherwise} \end{cases}$

잘못된 전략

잘못된 전략은 다음과 같습니다.

항상 가장 작은 카드를 재생하십시오. 보자 , 구성의 플레이어 A의 성공 전략 카드를 플레이하는 . 플레이어 A가 카드 1을 사용하면 패합니다. $n = 3, A = \{1,3\}, B = \{2\}$ $w(0, A, B)$ $3$
다른 플레이어가 카드를 하나만 가지고 있지 않으면 가장 작은 카드를 사용하십시오. 전략 1보다 강력한 전략이지만 잘못되었습니다. 구성 . 플레이어 A가 전략 2를 사용하면 잃게됩니다. $w(0, \{1, 4, 6, 7\}, \{2, 3, 5, 8\})$ $1\rightarrow2\rightarrow4\rightarrow5\rightarrow6\rightarrow8\rightarrow\textrm{pass}\rightarrow3$

gt.game-theory card-games

— 야이 0 파
소스

이 질문은 흥미롭지 만 가능한 한 읽을 수있게 만드십시오. 예를 들어, 질문에 대한 가정과 다르고 독자를 혼란스럽게 할 수있는“플레이어에게 알려야 할 A라고 생각합니다…”부분을 포함하여 Guillaume Brunerie의 의견을 그대로 복사 할 필요는 없습니다. 또한 세 번째의 첫 번째 공식을 제거하는 것을 고려하십시오. 두 번째 공식은 직관적 인 이해를 제공하고 세 번째 공식은 공식적인 정의를 제공하며 첫 번째 공식은 어떤 목적에도 기여한다고 생각하지 않습니다.

— 이토 쓰요시

이를 분석하는 가장 좋은 방법은 모든 위치에 대한 최적의 움직임을 파악하고 패턴을 찾는 프로그램을 작성하는 것입니다. 이 게임이 좋은 전략을 가져야하는 선험적 인 이유 는 없습니다 .

— 피터 쇼어

나는 적은 수의 카드로 전략을 시작하고 거기서부터 일할 것입니다. 예를 들어, 각 플레이어가 2 장의 카드를 가지고 있다면, 다음 턴에 어떤 플레이어가 있는지에 상관없이 가장 높은 카드를 가진 플레이어가 승리합니다. 그는 가장 높은 카드를 사용하고 다른 플레이어는 패스를 한 다음 마지막 카드를 사용합니다.

— Joe

아무도 내가 포스트 스크립트 1을 따르도록 GB의 선언을 다시 작성하도록 도울 수 있습니까? 나는 원어민이 아니며, 그런 복잡한 게임을 묘사하는 것이 내 능력에서 벗어난 것이 유감입니다.

— Yai0Phah

@ 츠요시 : 플레이어 A가 항상 가장 작은 카드를 사용하면 플레이어 B가 승리합니다. 플레이어 A가 카드 1을 플레이하고 항상 가장 작은 카드를 재생하지 않는 경우 플레이어 A가 이길 수 있습니다. 이것은 전략 2가 항상이기는 것에 대한 더 작은 반례가 있음을 의미합니다.

— 피터 쇼어

이것은 아마도 주석이어야하지만 너무 깁니다.

관련 게임은 Jeff Kahn, Jeff Lagarias 및 Hans Witsenhausen에 의해 단일 기사 2 인용 카드 플레이 I, II, III 및 On Laskar의 카드 게임 시리즈에서 연구되었습니다 . 그들이 연구 한 게임에서, 각 플레이어는 카드를 가지며 , 카드를 취급 합니다. 각 트릭은 두 개의 카드로 구성되며, 높은 카드는 트릭을 이기고 승자는 이깁니다. 목표는 가장 많은 트릭을 취하는 것입니다. $n$ $2n$ $1$ $\ldots$ $2n$

그들은 최적의 전략에 관한 많은 흥미로운 사실을 증명했지만, 최적의 플레이를위한 효율적인 알고리즘을 찾을 수 없었고, 그것이 NP-hard라는 것을 증명할 수 없었습니다.

를 들어 misère의 각 사람이 트릭 가장 적은 수의을하려고 게임, 그들은 최적의 전략을 제공 할 수 있었다.

대부분의 경우, 이러한 결과는 먼저 작은 인스턴스에 대한 최적의 전략을 찾은 컴퓨터 프로그램의 결과를 검토 한 다음 추측을 얻기위한 패턴을 찾은 다음 마지막으로 이러한 추측을 증명함으로써 얻어졌습니다. 나는 이것이 OP의 게임을 위해 유익한 접근법이 될 것이라고 생각합니다.

— 피터 쇼어
소스