일정한 깊이의 공식에 대한 하한?

우리는 (다항식 크기) 일정 깊이 회로의 한계에 대해 많이 알고 있습니다. (다항식 크기) 상수 깊이 수식은 훨씬 제한된 계산 모델이므로 AC ⁰ 에없는 것으로 알려진 모든 문제 는 상수 깊이 수식으로 계산할 수 없습니다. 그러나 더 쉬운 모델이기 때문에이 모델에서 계산할 수없는 것으로 알려진 더 많은 문제가 있다고 생각합니다. 이것이 연구 되었습니까? (나는 그것이 추측하고 있지만 아마도 올바른 검색어를 사용하지 않을 것입니다.)

특히 나는 다음 질문에 관심이 있습니다 : 어떤 함수 f가 있습니까?이 함수 는 크기 S 의 AC ⁰ 회로에 의해 계산 될 수 있지만 S에서 최소 2 차 또는 S에서 초 다항식의 일정한 크기의 수식이 필요합니까? 이 종류의 가장 잘 알려진 결과는 무엇입니까?

상수 깊이 수식의 의미가 명확하지 않은 경우 트리로 작성하면 (내부 노드가 AND / OR / NOT 게이트이고 잎이 입력 인 경우)이 트리가 일정한 수식을 의미합니다 신장. 마찬가지로, 상수 깊이 공식은 모든 비 입력 게이트에 팬 아웃 1이있는 상수 깊이 회로입니다.

게이트 사본을 두 번 이상 사용함으로써 다항식 크기 ​​증가와 함께 일정한 깊이 회로를 같은 깊이의 일정한 깊이 공식으로 쉽게 변환 할 수 있습니다. 회로의 깊이가 $d$ 이고 크기가 $O(p(n))$ 이면 수식의 깊이는 $d$ 이고 크기는 $O((p(n))^d)$ 입니다. 따라서 대답은 '아니오'입니다.

이 문제는 Benjamin Rossman ( http://eccc.hpi-web.de/report/2013/169/ ) 의 최근 결과에 의해 완전히 해결되었습니다 (일관된 요소까지 ).

Kaveh가 위에서 지적한 바와 같이, 깊이 , 크기 , 회로는 깊이 , 크기 공식 으로 변환 될 수있다 .$d$$S$$d$$S^d$

Rossman은 이것이 본질적으로 타이트하다는 것을 보여줍니다. 깊이 의 경우 깊이 와 크기 의 일정 깊이 회로로 계산할 수있는 함수를 나타내지 만 일정한 깊이 공식 (또는 -depth formula) 를 계산하려면 크기가 필요 합니다.$d$$d$$S = O(n^3)$$\sqrt{\log n}$$S^{\Omega(d)}$

(이전에 말한 것을 잊었다 :이 결과에 대해 알려 주신 Benjamin Rossman에게 감사한다.)