행렬 곱셈의 계산 복잡성

직사각형 행렬의 행렬 곱셈의 계산 복잡성에 대한 정보를 찾고 있습니다. Wikipedia는 에 곱하는 이 (학교 곱셈) . B ∈ R n × p O ( m n p $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$$B \in \mathbb{R}^{n \times p}$$O(mnp)$

나는 경우가 과 보다 훨씬 작은 , 나는 선형보다 더 복잡성을 얻을 수 있었으면 된 에 의존 만들기의 비용에, 하고 선형보다 더.n p p m $m$$n$$p$$p$$m$$n$

어떤 아이디어?

감사.

참고 : 내가 가능하기를 희망하는 이유는 (매트릭스가 모두 제곱 인 경우) 인 경우 에서 3 차 미만의 의존도에 대한 잘 알려진 결과 때문입니다 .m = n = $p$$m=n=p$

Coppersmith의 고전적인 작업은 일부 에 대해 ~ O ( n 2 ) 산술 연산 에서 n × n α 행렬과 n α × n 행렬을 곱할 수 있음을 보여줍니다 . 이것은 라이언 윌리엄스의 최근 유명한 결과의 중요한 요소입니다.$\alpha > 0$$n \times n^\alpha$$n^\alpha \times n$$\tilde{O}(n^2)$

François le Gall은 최근 Coppersmith의 작업을 개선했으며 그의 논문 은 FOCS 2012에 방금 접수되었습니다.이 작업을 이해하려면 대수적 복잡성 이론에 대한 지식이 필요합니다. 버지니아 윌리엄스 (Virginia Williams)의 논문은 몇 가지 관련 조언을 담고있다. 특히, 구리 스미스의 작업은 이 책의 대수 복합성 이론 에 완전히 설명되어 있습니다.

다른 작업 가닥은 대략 행렬을 곱하는 데 집중합니다 . Magen과 Zouzias 가이 작업 을 확인할 수 있습니다 . 이것은 행렬과 N × n 행렬을 곱하는 것과 같이 매우 큰 행렬을 처리하는 데 유용합니다 . 여기서 N ≫ n 입니다.$n \times N$$N \times n$$N \gg n$

기본 접근 방식은 행렬을 샘플링하고 (임의의 차원 축소에 해당) 훨씬 작은 샘플링 된 행렬을 곱하는 것입니다. 트릭은 언제 그리고 어떤 의미에서 이것이 좋은 근사치를 제공하는지 알아내는 것입니다. 완전히 비현실적인 이전 작업과 달리 샘플링 알고리즘은 실용적이고 많은 양의 데이터를 처리하는 데 필요합니다.