메커니즘 설계 증명 이해

나는이 논문에서 경매 이론에 관한 증거에 대한 기술적 세부 사항으로 고심하고있다 : http://users.eecs.northwestern.edu/~hartline/omd.pdf

구체적으로 정리 2.5 : 진실한 메커니즘을위한 필요하고 충분한 조건.

더 구체적으로, 6 페이지에 제시된 증거의 순방향. $v_i$ 과 같은 일반적인 값 (예 : 입찰가)과 함께 저자는 두 개의 추가 수량 ( 및 을 가정 합니다.$b_i$$z_1$$z_2$

그런 다음 , 으로 지정하여 이전 논문의 작업에 따른 불평등을 합니다. $v_i = z_1$$b_i = z_2$

그는 또한 , 규정하며 , 이는 이전 논문의 작업에 따라 유사하지만 다른 불평등을 합니다. $v_i = z_2$$b_i = z_1$

알았어, 충분 해 그런 다음 한 불평등을 다른 불평등에서 빼고 결과 대수학을 기반으로 원하는 결과를 도출합니다. 나는 그 뺄셈이 정당화되는 이유를 이해하지 못합니다. 그는 완전히 다른 (사실, 반대) 가정에 기반한 두 가지 불평등을 뺀 것으로 보입니다.

나는이 기본적인 접근법 (Shoham and Leyton-Brown의 책? 확인해야 할 손이 거의 없음)을 보았으므로 일반적인 아이디어 인 것처럼 보이지만 지나칠 수는 없습니다. 아무도 그것이 왜 유효한지 이해하도록 도와 줄 수 있습니까, 아니면 내가 잃어버린 것을 설명해 주시겠습니까?

(나는 진정한 가치 values-- 세를 가정하여 원하는 결과를 증명하려고했습니다 , 2 개 개의 입찰, 및 - 자신의 원하는 결과를 얻을뿐만 아니라, 실패는 단지 공통되지 않을 수도 있습니다,하지만. 필요 에 저자의 방식으로하지만 여전히 이해가되지 않습니다.)$v_i$$b_1$$b_2$

업데이트 : Shoham과 Leyton-Brown의 책 에서 비슷한 것을 보았습니다 . 정확히 동일하지는 않지만 매우 유사하며 동일한 방정식과 주제를 처리합니다. 정리 10.4.3의 사례 1이다.

진실 메커니즘의 맥락에서 시작하면, 그들은 먼저 진실 가정 과 거짓 에 기초하여 지불하는 것이 파생 에 따라 지급보다 덜거나 같은 예, . 그런 다음 반대의 진실한 및 거짓 를 가정하고 반대 결과를 도출합니다. 기반 지불이 기반 지불보다 적습니다 예 : . 알겠습니다. $v_i$$v_i'$$v_i$$v_i'$$P_i(v_i) \leq P_i(v_i')$$v_i'$$v_i$$v_i'$$v_i$$P_i(v_i') \leq P_i(v_i)$

그들은 와 가 동시에 사실 이라고 말하는 것처럼 와 에 따른 지불 은 동일해야한다고 주장합니다. 비록 그것들이 단지 다른 것이 아니라 반대 가정의 결과이지만.$v_i$$v_i'$$P_i(v_i) \leq P_i(v_i')$$P_i(v_i') \leq P_i(v_i)$

그 대답은 가능한 모든 유형의 유형에 대해 메커니즘이 진실해야한다는 것입니다. 메커니즘은 어떤 유형이 사전에 정확한지 알 수 없습니다. 따라서 한 쌍의 유형에 대해$v_i$ 과 $v_i'$에이전트의 실제 유형이 $v_i$: 입찰하는 경우 그의 유틸리티는 더 커야합니다 $v_i$ 그가 입찰하는 것보다 $v_i'$. 그러나 에이전트의 실제 유형이$v_i'$! 결국, 메커니즘에 관한 한 그럴 수도 있습니다! 따라서이 경우 상담원이 입찰하면 유틸리티의 유틸리티가 더 커야합니다$v_i'$ 비교하자면 $v_i$.

요점은 진실성이 동일 메커니즘에 대해 여러 가지 불평등을 동시에 부과한다는 점입니다. 즉, 에이전트가 가질 수있는 모든 유형 및 고려할 수있는 모든 편차에 대해 하나씩입니다. 그들 모두는 붙잡는다. 이 증거는 이러한 불평등 중 두 가지만 사용합니다

나는 당신이 원하는 것은 다음과 같은 제안이라고 생각합니다.

제안. 허락하다$V$ 과 $A$설정하십시오. 허락하다$f:V^n\to A$ 과 $p_1,\dots,p_n:V^n\to\mathbb{R}$. 모두를 위해 그것을 가정$i,x_i,y_i,v_{−i}$ 우리는

$$x_i (f(x_i , v_{−i})) − p_i (x_i , v_{−i}) \geq x_i (f(y_i , v_{−i})) − p_i (y_i , v_{−i}).$$ 그럼 모두를 위해 $i,v_i,v'_i,v_{-i}$ 우리는 $$v_i(f(v_i,v_{-i}))-v_i(f(v'_i,v_{-i}))\geq v'_i(f(v_i,v_{-i}))-v'_i(f(v'_i,v_{-i})).$$

증명. 퍼팅$x_i=v_i$ 과 $y_i=v'_i$ 우리는

$$v_i (f(v_i , v_{−i})) − p_i (v_i , v_{−i}) \geq v_i (f(v'_i , v_{−i})) − p_i (v'_i , v_{−i}).$$ 퍼팅 $x_i=v_i$ 과 $y_i=v'_i$ 우리는 $$v'_i (f(v'_i , v_{−i})) − p_i (v'_i , v_{−i}) \geq v'_i (f(v_i , v_{−i})) − p_i (v_i , v_{−i}).$$ 결과는 이러한 불평등을 추가하고 재배 열하는 것입니다.

이 제안의 메커니즘 설계 해석은 모든 인센티브 호환 (즉, 전략적 증거, 즉 진실) 메커니즘이 "약한 단 조성"을 갖는다는 것입니다.

어떤 이유로 든 실제 입찰과 거짓말을 참조하여 논쟁하는 것이 일반적입니다. 이 문맥에서 "true"및 "lie"는 "x"및 "y"와 같은 변수 이름 일뿐입니다. 실제 입찰과 거짓말 사이에는 공식적인 차이가 없으므로 동일한 이름을 사용하여 별도의 인수로 다른 것을 지칭하는 것이 좋습니다.