적분 갭 제로가 특정 문제에 대한 제로 이중 갭을 의미합니까?

정수 프로그램의 값과 이중 ( "이중 간격") 사이의 간격이 0 인 경우 정수 프로그램의 선형 프로그래밍 이완과 이완의 이중은 모두 적분 솔루션을 인정합니다 (제로 "적분) 갭"). 적어도 경우에 따라 대화가 유지되는지 알고 싶습니다.

$P: \max\{1^Tx: Ax \leq 1, x\in \{0,1\}^n\}$ $A$ $0-1$ $P'$ $P$ $P'$

나는 반례 나 조언을 부탁드립니다 ..

— 앙 쿠르
소스

@Kaveh 근사 알고리즘이 올바른 태그인지 확실하지 않습니다. 또는 심지어 ds.algorithms

— Suresh Venkat

첫 번째 단락에서 정수 프로그램의 이중은 무엇을 의미합니까? 선형 및 정수 프로그래밍에 관한 Schrijver의 저서에서 다면체 이론의 기초를 이해하고 특히 선형 프로그래밍 완화에 정수 정점이있을 때 유용합니다. TUM 행렬과 부등식의 TDI 시스템은 질문과 관련이 있습니다.

— 찬드라 체 쿠리

@Suresh, 선형 프로그래밍 및 최적화가 알고리즘에 포함되지 않습니까?

— Kaveh

@ChandraChekuri 정수 선형 프로그램에 대해 이야기하고 있습니다. 이중은 약한 이중성이 유지되는 ILP의 표준 이중입니다. 여기서 어려운 점은 (주요) LP 솔루션 (예 : TUM / 밸런스 등)의 무결성에 대한 충분한 조건이 원초 솔루션과 이중 LP 솔루션의 무결성에 대한보다 강력한 개념을 통과하는 것 같습니다. 이것은 초기 솔루션의 적분이 적어도 적분 계수에 대해 이중 솔루션의 적분을 암시하는지 궁금합니다. PS : Siebel으로 걸어 가서 이야기 할 수있었습니다! 몇 년 전에 수업에 있었어요!

— Ankur

이 특정 질문은 현재 가지고있는 태그에 더 가깝습니다.

— Suresh Venkat

여기에있을 수있는 인스턴스 가까운 주장을 반증한다.

LP 및 이중 대 행렬 $P = \max \{ 1^T x \,|\, Ax \leq 1, x \leq 1, x \geq 0\}$ $P' = \min \{1^Ty + 1^Tz ~|~ A^Ty + z \geq 1, ~y \geq 0, z \geq 0 \}$ $12 \times 6$

$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\,.$

최적 솔루션 주어진다 (다른 모든 변수가 제로 임)의 목적 함수의 값을 . 의 최적 해는 벡터 로 주어집니다 . 를 정수 프로그램으로 풀면 최적의 목적 함수 값은 이고 이 최적의 솔루션입니다. $P'$ $y_1=y_2=y_{12}=1$ $3$ $P$ $x = [0.5~0.5~0~1~0.5~0.5]^T$ $P$ $2$ $x = [1~0~0~1~0~0]$

요약하면, LP 이 통합 최적의 솔루션을하지만, 듀얼, 필수적인 최적의 솔루션을 가지고 있지 않습니다. 초기 이중 역할은 Ankur가 원했던 설정과 반대입니다. 그러나 LP 이중성의 특성을 고려할 때,이 사례는 여전히 원래의 주장에 대한 일반적인 진술과 반대되는 사례로 간주 될 수 있습니다. $P'$ $P$

— KBala
소스

감사! 작동합니다! 이 예를 어떻게 생각 해냈습니까? 문제가 발생하는 클래스가 있습니까?

— Ankur

매트릭스는 최적의 상동 사이클 에 대한 논문 에서 제공된 뫼비우스 스트립의 경계 매트릭스를 수정 한 것입니다 . 나는 최근에 그러한 경계 행렬을 가지고 놀았으므로, 내가 준 예제를 만들기 위해이 행렬로 다소 자연스럽게 시작했습니다.

— kbala