대략적인

편집 (v2) : 문제에 대해 알고있는 섹션을 추가했습니다.

편집 (v3) : 끝에 임계 값 정도에 대한 토론을 추가했습니다.

의문

이 질문은 주로 참조 요청입니다. 나는 그 문제에 대해 많이 모른다. 이 문제에 대한 이전 연구가 있었는지 알고 싶습니다. 그렇다면 누군가이 문제에 대해 이야기하는 논문을 알려줄 수 있습니까? 또한 대략 의 현재 최고 한계를 알고 싶습니다 . 다른 정보 (예를 들어, 이력 정보, 동기 부여, 다른 문제와의 관계 등)도 인식 될 것이다.$\textrm{AC}^0$

정의

하자 있을 부울 함수. 하자 변수를 통해 다항식 하는 실제 계수로. 다항식의 차수는 모든 단항의 최대 차수입니다. 단항의 차수는 해당 단항 에 나타나는 다양한 의 지수의 합입니다 . 예를 들어 입니다.$f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$$p$$x_1$$x_n$$x_i$$\textrm{deg}(x_1^7x_3^2) = 9$

다항식 는 모든 대해 경우 -approximate 라고합니다 . 부울 함수의 -approximate도 로 표시 , 다항식이 최소 인도 -approximates . 기능의 세트의 경우, , 최소 차수이고 의 모든 기능하도록 될 수 기껏 정도의 다항식으로 -approximatedϵ f | f ( x ) − p ( x ) | < ε X ε F ~ ℃에서 ε ( F ) ε F F ~ ℃에서 ε ( F ) D F ε $p$$\epsilon$$f$$|f(x)-p(x)|<\epsilon$$x$$\epsilon$$f$$\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(f)$$\epsilon$$f$$F$$\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(F)$$d$$F$$\epsilon$$d$.

모든 함수는 차수 다항식으로 오류없이 표시 될 수 있습니다 . 일부 함수는 상수 오류에 근사하기 위해 실제로 차수 다항식 이 필요합니다 . 패리티는 이러한 기능의 예입니다.$n$$n$

문제 설명

무엇 ? (상수 1/3은 임의적입니다.)$\widetilde{\textrm{deg}}_{1/3}(\textrm{AC}^0)$

노트

Paul Beame과 Widad Machmouchi 의 AC0의 Quantum Query Complexity 논문에서이 문제가 발생했습니다 . 그들은 말한다

또한, 우리의 결과는 대략적인 정도의 AC0 함수에서 하한의 틈새를 막을 수있는 것은 없습니다.

그들은 그들의 인정에도 "대체 AC0 정도의 문제"를 언급합니다.

그래서 전에이 문제에 대한 연구가 있다고 가정합니까? 누군가 문제에 대해 이야기하는 논문을 알려줄 수 있습니까? 가장 잘 알려진 상한과 하한은 무엇입니까?

내가 문제에 대해 알고있는 것 (이 섹션은 질문 v2에 추가되었습니다)

알려진 에서 가장 잘 알려진 상한 은 사소한 상한 입니다. 내가 아는 가장 좋은 하한은 Aaronson과 Shi의 하한에서 비롯된 충돌 및 요소 구별 문제로, 의 하한을 제공합니다 . ( 수식 크기의 수식 또는 게이트가있는 깊이 -2 회로와 같이 의 매우 제한된 버전의 경우 상한을 증명할 수 있습니다 양자 쿼리 복잡성 사용)N ~ Ω (N2/3)AC0O(N2)O(N2)O(N$\widetilde{\textrm{deg}}_{1/3}(\textrm{AC}^0)$$n$$\tilde{\Omega}(n^{2/3})$$\textrm{AC}^0$$o(n^2)$$o(n^2)$$o(n)$

임계 값 정도 (v3에 추가됨)

Tsuyoshi가 주석에서 지적 문제는 의 임계 값을 결정하는 문제와 관련이 있습니다 . 함수 의 임계 값 정도는 다항식 의 최소 ​​차수 이므로 및 입니다. fpf(x)=$\textrm{AC}^0$$f$$p$F ( X ) = $f(x)=1 \implies p(x)>0$$f(x)=0 \implies p(x)<0$

Shermath 는 임계 값 하한을 개선했습니다. 그는 깊이가 무한대로 될 때 임계 값 정도가 근접하는 변수에 대해 일정한 깊이의 1 회 판독 공식을 보여줍니다. ) 정도 . http://eccc.hpi-web.de/report/2014/009/를 참조하십시오 . (2014 년 1 월)$\mathrm{AC}^0$$n$$\Omega(\sqrt{n})$$O(\sqrt{n})$

마크 번과 저스틴 탈러 (Justin Thaler)의 논문은 ECCC에 최근 (2017 년 3 월 중순)에이 질문에 정확하게 답한 다음과 같은 논문이 실렸다 : "대략 AC0도에서 거의 최적의 하한"

그들이 어떤 위해 주장 , 함수가 존재 F 에 C가 0 이되도록 ~ (D)의 예를 들면 1 / 3 ( F ) = Ω ( n은 1 - δ ) , 거의 사소한와 격차를 O ( N ) 상한. 변수의 수를 준 선형으로 유지하면서 부분 선형 근사 도로 함수의 근사 정도를 높이는 일반적인 방법으로이를 달성합니다. 초록에서 :$\delta > 0$$f$$\mathrm{AC}^0$$\widetilde{\mathrm{deg}}_{1/3}(f) = \Omega(n^{1-\delta})$$O(n)$

즉, 우리는 부울 함수 변환하는 방법을 보여 근사 정도와 D를 함수로 F 에서 O ( N ⋅ P O 리터 의 Y L O g ( N ) ) 적어도 근사 정도 변수 D = Ω ( n은 1 / 3 · D 2 / 3 ) . 특히 이면 는 보다 다항식으로 더 큽니다 . 또한, 이면$f$$d$$F$$O(n \cdot \mathrm{polylog}(n))$$D = Ω(n^{1/3} · d^{2/3} )$$d = n^{1−Ω(1)}$$D$$d$$f$상수 깊이의 다항식 부울 회로에 의해 계산되며 마찬가지입니다 .$F$

이것이이 문제의 하한에 대한 가장 최근의 업데이트이며, 상당한 발전입니다. 이 백서의 소개 및 응용 프로그램 섹션은 이전 작업 및 관련 문제에 대한 참고 자료입니다.

면책 조항 : 나는 아직 신문을주의 깊게 읽지 않았습니다.