회로 하한 및 kolmogorov 복잡성

다음과 같은 추론을 고려하십시오.

하자 $K(x)$ 나타내는 콜 모고 로프의 복잡성 문자열의 $x$ . 차이 틴의 불완전 성 정리 는

일관되고 충분히 강력한 형식 시스템 $S$ , 문자열 에 대해 가 임을 증명할 수없는 상수 $T$ (형식 시스템 및 해당 언어에 따라 다름 있습니다. $x$ $S$ $K(x) \geq T$

스펙트럼의 Kolmogorov 복잡도가 최대 변수 에 대해 $f_n$ 부울 함수라고 하자 . 하자 의 회로 복잡성 될 즉, 연산 회로의 최소 크기 . $n$ $k$ $S(f_n)$ $f_n$ $f_n$

에 대한 A (거친) 상한 $S(f_n)$ 은

S (f_{n}) \leq c \cdot B B (k) \cdot n

$S(f_n)\leq c\cdot BB(k) \cdot n$ 이고 상수

대한

c

$c$ 이고

B B (k)

$BB(k)$ 는 사용중 비버 기능입니다 (최대 가능한 단계 a 크기

대한 설명이있는 튜링 기계 정지

k

$k$ ). ( 스펙트럼의 모든

1

$1$ 에 대해 해당하는 진리 할당의 최소 기간을 구성하고 이러한 모든 최소 기간의 OR을 함께 가져옵니다.)

부울 함수 의 무한 패밀리에 대해 이제 에 초 선형 회로가 필요 하다는 공식적인 증거가 있다고 가정 합니다. $L = \{f_n\}_{n}$ $L$

여기서 .

S ⊢ \forall n \geq n_{0}, g (n) \cdot n \leq S (f_{n})

$S \vdash \forall n \geq n_0, \ g(n)\cdot n \leq S(f_n)$

g (n) \in ω (1)

$g(n)\in \omega(1)$

을 충분히 크게 취하면 $n$

g (n) > c \cdot B B (T)

$g(n) > c\cdot BB(T)$

특히, 이것은 스펙트럼의 콜로 모고 로프 복잡성이 적어도 라는 증거 일 수 있으며 , 이는 불가능하다. $f_n$ $T$

이것은 두 가지 질문으로 이어집니다.

1) 위의 추론에는 문제가 있습니다. 주로 슈퍼 리니어 회로의 하한을 공식적으로 증명할 수 없기 때문입니다.

2) 하한에 대한 장벽을 나타내는 유사한 접근 방법, 즉 특정 유형의 (회로) 하한이 공식적으로 불가능하다는 것을 알고 있습니까?

— 매그너스 찾기
소스

흥미로운 아이디어. P =? NP에 대한 장벽을 제시하는 "자연적 증거"에 대한 razborov / rudich 증거와 다소 관련이 있습니다 (그러나 논문에서 예로 제시된 다른 복잡한 클래스 분리에도 적용 가능) .. 그 논문을 읽었습니까? 참고 장벽 P =? NP 및 장애물 / 단조 회로 복잡성 . 복잡성 클래스 분리는 구조상 비 확률 증명과 유사하다는 힌트를줍니다.

— vzn

f_n의 "스펙트럼"에 대해 자세히 설명해 주시겠습니까? "스펙트럼"을 언급하지 않고 질문을 표현하는 방법이 있습니까?

— vzn

아마도 계산할 수있는 가장 작은 TM (상태 테이블 / 상태의 의미)을 연구함으로써 기능의 복잡성을 연구 할 수 있으며 이것이 회로 하한과 거의 일치 할 것입니다. 가장 작은 TM을 찾는 것이 실제로 어렵다는 것이 불가능하다는 것을 보여줄 수 있다면 무언가가있을 수 있습니다. 그러나 회로 나 TM의 표준 열거를 통해 가장 작은 TM을 찾는 것은 "간단합니다". 이 방법이 왜 효과가 있는지 숙고하면 질문이 문제를 일으키지 않는 이유를 이해하는 데 도움이 될 수 있습니다.

— vzn

권리. 참조 주셔서 감사합니다. 나는 Natural Proofs 논문에 대해 알고 있습니다. "스펙트럼"없이 질문을 공식화 할 수 있는지 모르겠습니다. 내가 "스펙트럼"을 의미하는 것은 서열이다

(f (0, 0, . ., 0), f (0, 0, . ., 1), . ., f (1, 1, . ., 1))

$(f(0,0,..,0),f(0,0,..,1),..,f(1,1,..,1))$

— Magnus

답변:

당신의 주장에는 아무런 문제가 없지만 모순은 없습니다. 충분히 큰 에서 의 스펙트럼의 Kolmogorov 복잡도 는 항상 이상 임을 증명합니다 . 그러나이 진술은 사소한 사실입니다! 한 문자열의 Kolmogorov 복잡성이 크다는 것을 증명할 수는 없지만 시퀀스가 있으면 어느 시점부터는 복잡성이 큰 문자열 만 포함해야합니다. 이 은 무엇입니까? 이 만족해야 우리 (인해 계산할 수없는 번호 무엇 $N$ $f_n$ $T$ $N$ $N>g^{-1}(c \cdot BB(T))$ )하므로 전혀 문제가 없습니다. $BB$

— 도모토
소스

고맙습니다. 나는 N의 값을 충분히 크게 선택할 수 있다고 믿는 함정에 빠졌지 만 ,

내에서는 이것이 불가능하며 , 올바르게 지적하면 이것은 실제로 어떤 가족에게도 해당됩니다. 증가하는 서열.

S

$S$

— Magnus는

더 간단한 문제 상황이 있습니다. 하자 (사전 편찬 식 순서로) 제 문자열되도록 ; 이러한 문자열은 모든 대해 존재할 수 있습니다 . 그런 다음 $A(k)$ $K(A(k)) \geq k$ $k$ $K(A(k)) \geq k$ .

범인은 공식 시스템이 계산할 수 없다는 것입니다 $BB(T)$ .

편집 : 여기에 "보다 명백한"문제가있는 상황이 있습니다. 를 Kolmogorov의 복잡도가 최대 인 스트링의 최대 길이라고 하자 . 가 존재할 수있다. 그런 다음 입니다. $\alpha(k)$ $k$ $\alpha(k)$ $K(0^{\alpha(k)+1}) > k$

— 유발 필름 러스
소스

이 상황이 왜 문제가됩니까? 출력이 A (k)이고 길이가 k보다 작은 프로그램을 제공하지 않았습니다.

— domotorp

B B (k)

$BB(k)$

k

$k$

그것은 원래의 질문과 같은 의미에서 (논쟁 적으로) 문제가 있습니다.

— Yuval Filmus

나는 아직도 그것을 얻지 못한다. 당신은 문자열과 Kolmogorov의 복잡성이 크다는 증거를 나타내지 않습니다. 복잡성이 큰 문자열이 있음을 증명합니다.

— Sasho Nikolov

나는 그들이 다른 방식으로 문제가 있다고 생각합니다. 내가 읽을 때, 당신은 증거가없는 특정한 진실한 진술을 지적합니다. 내 질문에 그것을 배치 할 때, 나는 증명할 수없는 무언가의 증거를 수반한다고 지적합니다.

— Magnus