고유하게 풀릴 수있는 퍼즐의 용량 (USP)

Cohn, Kleinberg, Szegedy 및 Umans는 행렬 곱셈에 대한 이론적 그룹 이론 논문 에서 고유하게 해결할 수있는 퍼즐 (아래 정의)과 USP 용량의 개념을 소개합니다. 그들은 카퍼와 Winograd는 자신의 획기적인 논문에서 주장 등차 수열을 통해 행렬 곱셈 , "암시"는 USP 능력이 있음을 증명 $3/2^{2/3}$ . 이 주장은 다른 여러 곳 (여기서 cstheory를 포함하여)에서 되풀이되었지만 설명 할 곳은 없습니다. 아래는 Coppersmith와 Winograd가 무엇을 증명하는지, 왜 충분하지 않은지에 대한 저 자신의 이해입니다.

그것은 USP 용량은 사실인가 $3/2^{2/3}$ ? 그렇다면 증명에 대한 참조가 있습니까?

독창적으로 해결 가능한 퍼즐

길이의 고유 실밥 퍼즐 (USP) $n$ 폭 $k$ 서브 세트로 구성되어 $\{1,2,3\}^k$ 크기의 $n$ 우리는 또한 세 개의 모음으로 생각, $n$ "조각"(장소에 대응하는 곳 벡터는 $1$ 이고, $2$ 인 장소와 장소 $3$ 는 다음 속성을 만족합니다. 모든 $1$ 피스를 $n$ 라인으로 정렬한다고 가정 합니다. 그런 다음 각 라인에 각 유형마다 하나씩 다른 조각을 넣을 수있는 독특한 방법이 있어야합니다.

$N(k)$ $k$

κ = sup_{k} N (k)^{1 / k} .

$\kappa = \sup_k N(k)^{1/k}.$

c \in {1, 2, 3}

$c \in \{1,2,3\}$

N (k) \leq \sum_{a + b + c = k} min {(\binom{k}{a}), (\binom{k}{b}), (\binom{k}{c})} \leq (\binom{k + 2}{2}) (\binom{k}{k / 3}),

$N(k) \leq \sum_{a+b+c=k} \min \left\{ \binom{k}{a}, \binom{k}{b}, \binom{k}{c} \right\} \leq \binom{k+2}{2} \binom{k}{k/3},$

κ \leq 3 / 2^{2 / 3}

$\kappa \leq 3/2^{2/3}$

예 (길이 와 너비 의 USP ) : 길이 과 너비 의 비 예제 , 여기서 와 -piece는 두 가지 다른 방식으로 배열 될 수 있습니다 : $4$ $4$

\begin{aligned} 1111 \\ 2131 \\ 1213 \\ 2233 \end{aligned}

$\begin{align*} 1111 \\ 2131 \\ 1213 \\ 2233 \end{align*}$

3

$3$

3

$3$

2

$2$

3

$3$

\begin{aligned} 123 & 132 \\ 231 & 321 \\ 312 & 213 \end{aligned}

$\begin{align*} 123 && 132 \\ 231 && 321 \\ 312 && 213 \end{align*}$

Coppersmith-Winograd 퍼즐

길이의 카퍼 - Winograd 퍼즐 (CWP) , 폭 서브 세트의 구성 의 크기 에 대한 두 -있는 "조각"고유 및 , (그들은 다소 다르게 제시합니다.) $n$ $k$ $S$ $\{1,2,3\}^k$ $n$ $a \neq b \in S$ $c \in \{1,2,3\}$

{i \in [k] : a_{i} = c} \neq {i \in [k] : b_{i} = c} .

$\{ i \in [k] : a_i = c \} \neq \{ i \in [k] : b_i = c \}.$

모든 USP는 CWP (위에서 언급 한 바와 같이)이므로 CWP 용량 는 충족 합니다. 위에서 우리는 입니다. Coppersmith와 Winograd는 정교한 논쟁을 통해 보여주었습니다 . 그들의 주장은 Strassen에 의해 단순화되었다 ( 대수 복잡성 이론 참조 ). 아래에 간단한 증거를 스케치합니다. $\lambda$ $\lambda \geq \kappa$ $\lambda \leq 3/2^{2/3}$ $\lambda = 3/2^{2/3}$

감안 ,하자 함유하는 모든 벡터 구성 각각 (S), (S), 들. 들면 ,하자 모든 쌍으로 구성 되도록 , . 그래프 모든 독립 세트 는 CWP입니다. 모든 그래프는 독립적 인 크기의 세트를 가짐이 잘 알려져 있습니다.(증거 : 확률이 인 각 정점을 선택하고 각 생존 에지에서 하나의 정점을 제거하십시오). 우리의 경우 $k$ $V$ $k/3$ $1$ $2$ $3$ $c \in \{1,2,3\}$ $E_c$ $a,b \in V$ $\{ i \in [k] : a_i = c \} = \{ i \in [k] : b_i = c \}$ $E = E_1 \cup E_2 \cup E_3$ $G = (V,E)$ $|V|^2/4|E|$ $|V|/2|E|$

| V | = (\binom{k}{k / 3}) (\binom{2 k / 3}{k / 3}), | E | \leq 3 | E_{1} | = \frac{3}{2} (\binom{k}{k / 3}) {(\binom{2 k / 3}{k / 3})}^{2} .

$|V| = \binom{k}{k/3} \binom{2k/3}{k/3}, \quad |E| \leq 3|E_1| = \frac{3}{2}\binom{k}{k/3} \binom{2k/3}{k/3}^2.$ 따라서

\frac{| V |^{2}}{4 | E |} = \frac{1}{6} (\binom{k}{k / 3}) ⟹ λ \geq \frac{3}{2^{2 / 3}} .

$\frac{|V|^2}{4|E|} = \frac{1}{6} \binom{k}{k/3} \Longrightarrow \lambda \geq \frac{3}{2^{2/3}}.$

— 유발 필름 러스
소스

흥미롭지 만 여기에 의문이 있습니까, 아니면 이것이 문헌의 결함에 대한 주장입니까?

— David Eppstein

문제는 USP 용량이 인 것이 사실인지 , 그렇다면 그렇다면 어디에서 증거를 찾을 수 있는지입니다.

3 / 2^{2 / 3}

$3/2^{2/3}$

— Yuval Filmus

다른 많은 질문들과 마찬가지로이 질문에 대한 답은 Stothers의 논문에서 찾을 수 있습니다. 지역 USP는 1 조각, 2 조각 및 3 조각이 함께 들어갈 수있는 유일한 방법이 노조가 에있는 경우 CWP입니다 . 분명히 지역 USP는 USP이며 [CKSU]의 구성은 USP 용량이 지역 USP에 의해 달성되었음을 보여줍니다 (우리는 건설적으로 보여줄 것입니다). $S$

Coppersmith와 Winograd 는 다음 두 가지 속성을 사용하여 에서 거의 2 단계 독립 분포 를 구성 합니다. (1) , (2) 임의의 용 의 1 종되도록 의 2 종 과의 3 종 함께 벡터 형성 : 만약 다음 . $S$ $2^V$ $\Pr[x \in S] = (|V|/2|E|)^{1-\epsilon}$ $x,y,z \in V$ $x$ $y$ $z$ $w \in V$ $x,y,z \in S$ $w \in S$

분포에 따라 의 무작위 하위 집합 를 선택하고 각 모서리 에 대해 두 정점 제거 합니다 . 남은 정점 수는 대략 입니다. 결과 집합 로컬 USP이다 :이 경우 있는의 한 점 의 2 종 과의 3 종 조각 형성 착용감 다음, 이므로 는 모두 에서 제거됩니다 . $S$ $V$ $(x,y) \in E$ $x,y$ $(|V|^2/2|E|)^{1-\epsilon}$ $T$ $x,y,z \in T$ $x$ $y$ $z$ $w$ $x,y,z,w \in S$ $x,y,z$ $S$

— 유발 필름 러스
소스