깊이 5 미만으로 추가 할 수 있습니까?

캐리 예측 알고리즘을 사용하여 다항식 크기 깊이 5 (또는 4?) 회로 제품군을 사용하여 추가를 계산할 수 있습니다 . 깊이를 줄일 수 있습니까? 캐리 예측 알고리즘에 의해 얻어진 것보다 깊이가 낮은 다항식 크기 회로 패밀리를 사용하여 두 개의 이진수의 덧셈을 계산할 수 있습니까? $AC^0$

가 2 또는 3 인 회로 제품군 컴퓨팅 추가 의 크기에 대한 수퍼 다항식 하한 이 있습니까? $AC^0_d$ $d$

깊이로 나는 교대 깊이를 의미합니다.

— 익명
소스

당신의 이름을 말씀해 주시겠습니까? 당신은 누구입니까? 지난 한 달 동안 사람들은 여기에서 새로운 사용자 이름을 만들고 질문을 한 다음 해당 사용자 이름을 삭제합니다!

— Tayfun Pay

@Geekster, 일반적으로 사람들은 계정을 만들거나 실명을 사용할 필요는 없습니다 (다양한 이유로 그렇게하는 것이 좋습니다). 당신이 무언가에 대한 일반적인 우려가 있다면 이론적 인 컴퓨터 과학 메타 를 사용 하여 그것을 높이십시오.

— Kaveh

이것은 깊이 AC 회로가 일부 고정 대한 두 비트 입력 의 -비트 합을 계산할 수 없음을 검증함으로써 무차별 강제 될 수있다 . 각 깊이에 나타날 수있는 입력 비트의 유한 부울 함수 만 있습니다.

4

$4$

^{0}

$^{0}$

(m + 1)

$(m+1)$

m

$m$

m

$m$

— mjqxxxx

@mjqxxxx : 고정 m에 대해 무차별 강제 실행시 AC0 회로에 다항식 크기 제약 조건을 어떻게 적용합니까? @ OP : 전류 최고 회로 깊이 4 또는 깊이 5입니까?

— Robin Kothari 4

@mjqxxxx : 모든 부울 함수는 깊이 회로로 계산할 수 있습니다. 이제, 당신이 당신의 고정을 위해 찾을 가정 크기의 회로 . 모든 대해 회로 크기가 있는지 ( ) 또는 크기의 회로 만 있는지 여부를 어떻게 판단합니까? 여기서 ? 유한 한 예에서 점근 정보를 유추 할 수있는 방법은 없습니다.

2

$2$

m

$m$

s

$s$

c n

$cn$

n

$n$

c = s / m

$c=s/m$

2^{ϵ n}

$2^{\epsilon n}$

ϵ = (\log s) / m

$\epsilon=(\log s)/m$

— Emil Jeřábek은 Monica

답변:

Alexis Maciel and Denis Therien Threshold Circuits of the Small Majority-Depth의 Theorem 3.1에 따르면 실제로 두 숫자의 덧셈을 계산하기위한 깊이 3 회로가 있습니다.

정확한 범위는 여기서 는 게이트 가 모두 있는 깊이 -2 회로 가있는 문제입니다. 및 회로는 깊이 하나의 회로 (표기의 상세한 설명을 용지 참조). $\Delta_2 \cdot \mathsf{NC}^0_1$ $\Delta_2 = \Sigma_2 \cap \Pi_2$ $\mathsf{AC}^0$ $\vee,\wedge$ $\mathsf{NC}^0_1$ $\mathsf{NC}^0$

주요 증거 아이디어는 다음과 같습니다.

먼저 캐리-룩어 헤드 회로를 $\mathsf{NC}^0\cdot\Delta_2\cdot\mathsf{NC}^0$
그런 다음 의 클로저 속성을 호출 하여 이것을 $\Delta_2$ $\Delta_2\cdot\mathsf{NC}^0$
마지막으로 $\mathsf{NC}^0 \subset \Delta_1\cdot\mathsf{NC}^0_1$

— 사미
소스

깊이 2 회로는 DNF 또는 CNF 여야하고 기하 급수적으로 많은 최소값과 최대 값이 있는지 쉽게 확인할 수 있으므로 깊이 2 회로는 덧셈을 계산하기 위해 지수 크기가 필요합니다.

경고 : 아래 부분은 버그 입니다. 답변 아래의 의견을 참조하십시오.

내가 계산하는 방식은 깊이 3에서 더할 수 있습니다. 와 가 두 숫자 의 번째 비트라고 가정 합니다. 여기서 은 LSB의 색인이고 MSB의 입니다. $a_i$ $b_i$ $i$ $0$ $n$

우리가 계산하자 , 합계 번째 비트를 앞서 캐리 표정으로 표준적인 방법으로 : $i$ $s_i$

s_{i} = a_{i} \oplus b_{i} \oplus c_{i}

$s_i = a_i \oplus b_i \oplus c_i$

여기서 는 XOR이고 는 다음과 같이 계산 된 캐리입니다. $\oplus$ $c_i$

c_{i} = \underset{j ∣ j < i}{⋁} (g_{j} \land p_{j})

$c_i = \bigvee_{j\mid j < i} (g_j \wedge p_j)$

및 수단이 있다는 위치 번째는 캐리 "생성" $g_j$ $j$

g_{j} = (a_{j} \land b_{j})

$g_j = (a_j \wedge b_j)$

및 캐리가에서 전파됩니다 것을 의미 에 : $p_j$ $j$ $i$

p_{j} = \underset{k ∣ j < k < i}{⋀} (a_{j} \lor b_{j})

$p_j = \bigwedge_{k\mid j < k < i} (a_j \vee b_j)$

깊이를 계산, 깊이가 2이고, 깊이 3 인 것이 그 보이는 것이지만 깊이 4 또는 5가 3 회로 한 너무 깊이 경계 FANIN 연산이기 때문에, 실제로도 3 단지 깊이 de-Morgan 공식을 사용하여 회로의 크기를 다항식 양으로 불어 내면서 상위 2 레벨을 낮출 수 있습니다. $p_j$ $c_i$ $s_i$

— 노암
소스

꽤 자동으로 깊이 3. 만약이, 말하자면, 사용자가 작성되어 깊이 3 개 회로를 어떻게 경계 FANIN 계산을 볼 수 없습니다

같이

을 사용하면 첫 번째

에

있는 깊이 3 회로를 만들 수 있고 두 번째

에

가있는 깊이 3 회로를

s_{i}

$s_i$

(c_{i} \land \neg (a_{i} \oplus b_{i})) \lor (\neg c_{i} \land (a_{i} \oplus b_{i}))

$(c_i\land\neg(a_i\oplus b_i))\lor(\neg c_i\land(a_i\oplus b_i))$

⋁

$\bigvee$

⋀

$\bigwedge$ 위에. 두 부분의 연결 유형 사이의 불일치를 설명하기 위해 깊이를 1 씩 늘리지 않고 상단 분리를 내리는 방법을 모르겠습니다. 이는 것을주의함으로써 해결 될 수있다

또한 심층 (3) 회로에 의해 다른 방식으로 계산 될 수있다 ...

c_{i}

$c_i$

— 에밀 예라 벡 모니카 지원

... 위에

가 있습니다. 다른 한편으로, 모든 깊이 3 회로는 하단 팬인으로 제한되어 있으므로 깊이 2 1/2라고 부릅니다.

⋀

$\bigwedge$

— 에밀 예라 벡은 모니카 지원

분명합니다. 내가 지적한 것은 여기에 쓰여진 것처럼 AND 위에 2 개의 깊이

회로 의 OR 이 없다는 것 입니다. 두 개의 깊이

회로 의 OR이 있습니다 . 하나는 상단에 AND가 있고 다른 하나는 상단에 OR이 있습니다. 그러한 회로가 일반적 으로 깊이

로 변환 될 수 있는지 의심 합니다. 다항식 팬인 AND 및 OR을 정량 자로 생각하십시오.

를 표현할 수 있습니다.

d

$d$

d

$d$

d

$d$

는

한정자 블록이있는 프리 넥스 공식으로표현되지만표현하려면

블록이 필요합니다.

(\forall x_{1} \exists x_{2} \dots Q x_{d} ϕ (x_{1}, \dots, x_{d})) \lor (\forall x_{1} \exists x_{2} \dots Q x_{d} ψ (x_{1}, \dots, x_{d}))

$(\forall x_1\exists x_2\dots Qx_d\phi(x_1,\dots,x_d))\lor(\forall x_1\exists x_2\dots Qx_d\psi(x_1,\dots,x_d))$

d

$d$

d + 1

$d+1$

— Emil Jeřábek은 Monica

... 공식

(\forall x_{1} \exists x_{2} \dots Q x_{d} ϕ (x_{1}, \dots, x_{d})) \lor (\exists x_{1} \forall x_{2} \dots \bar{Q} x_{d} ϕ (x_{1}, \dots, x_{d}))

$(\forall x_1\exists x_2\dots Qx_d\phi(x_1,\dots,x_d))\lor(\exists x_1\forall x_2\dots \overline Qx_d\phi(x_1,\dots,x_d))$

— Emil Jeřábek은 Monica

일반적인 원리에 대한 명백한 반례를 위해,

은 상단에 OR가있는

회로로 계산할 수있는 함수의 계열이 되고 상단 에 AND가있는 초 다항식 깊이

회로가 필요합니다. (예 : Sipser 기능). 그런 다음

에는

회로 가 없습니다 . 모순이

이라고 가정하십시오.

f_{n} (x_{1}, \dots, x_{n})

$f_n(x_1,\dots,x_n)$

A C_{d}^{0}

$AC^0_d$

d

$d$

x_{0} \oplus f_{n}

$x_0\oplus f_n$

A C_{d}^{0}

$AC^0_d$

C_{n} (x_{0}, \dots, x_{n})

$C_n(x_0,\dots,x_n)$ 이러한 회로이며, 그

거나 상단 (다른 경우는 대칭).

을 설정 하면 상단에 OR가있는

대한

회로를 얻을 수 있으므로 상단에 AND가있는

대한

회로 가 모순됩니다.

C_{n}

$C_n$

x_{0} = 1

$x_0=1$

A C_{d}^{0}

$AC^0_d$

\neg f_{n}

$\neg f_n$

A C_{d}^{0}

$AC^0_d$

f_{n}

$f_n$

— Emil Jeřábek은 Monica