알려진 최적 정점 커버로 그래프를 생성하는 방법

최적의 정점 커버가 알려 지도록 그래프를 생성하는 방법을 찾고 있습니다. 노드 또는 에지 수에는 제한이 없으며 그래프가 완전히 연결되어 있어야합니다.

아이디어는 최적의 정점 커버를 찾기 어려운 그래프를 생성하여 다른 휴리스틱을 테스트 할 수 있도록하는 것입니다.

나는 Arthur, J. & Frendeway, J. 알려진 최적의 여행으로 여행-판매원 문제 생성, The Journal of the Operational Research Society, Vol. 알려진 최적의 알려진 TSP를 생성하기위한 39, No. 2 (1988 년 2 월), pp. 153-159 , 아아 나는 그것을 접근 할 수 없다.

알려진 알고리즘이 있습니까?

ds.algorithms graph-theory graph-algorithms

— AndresQ
소스

"노드 또는 에지 수에는 제한이 없으며 그래프가 완전히 연결되어 있어야합니다." 이보다 더 많은 제한이 필요합니다. 그렇지 않으면 완전한 그래프 세트를 생성하고 각 그래프에 대한 최적의 정점 커버를 알고 있습니다.

— 타이슨 윌리엄스

다음은 매우 간단한 접근법입니다. 먼저 일치하는 구성하십시오 . 각 모서리 대해 꼭지점 덮개 하나의 끝점을 추가합니다 . 그런 다음 원하는 수의 추가 노드를 추가하십시오. 그런 다음 원하는 수의 모서리를 추가하여 각 모서리에 끝 점이 하나 이상 있도록하십시오 . 반드시 는 최소 정점 표지가됩니다. (불행히도 이런 식으로 생성 할 수없는 그래프가 많이 있습니다 : 예 : )

M

$M$

e \in M

$e \in M$

C

$C$

C

$C$

C

$C$

K_{3}

$K_3$

— Jukka Suomela

나는 "임의의 이분 그래프를 생성하고 그것의 정점 커버를 계산한다"는 유용한 답변으로 간주되지 않는다고 생각합니다.

— David Eppstein

"하드"SAT 인스턴스를 생성하는 전략과 아카이브 된 "하드"인스턴스의 리포지토리 (예 : SAT 인스턴스를 정점 커버로 변환)를 원하는 경우가 있습니다. 또한 경험적 pov에서 SAT를 연구하는 많은 연구가 자연스럽게 다른 모든 NP 완료 문제, 예를 들어 전환점 등으로 자연스럽게 해석됩니다.

— vzn

David가 지적한 Koning 그래프에서 Vertex 커버의 다항식 시간 용해도보다 훨씬 일반적으로 다음과 같은 결과가 매개 변수화 된 복잡성 영역에서 알려져 있습니다. ^ c) 시간 알고리즘은 그래프가 최대 정합 크기를 최대 k 초과하는 정점 커버를 가지고 있는지 테스트합니다. Konig 그래프는 k = 0 일 때 특별한 경우입니다.

— Bart Jansen

답변:

vzn의 주석을 답으로 확장 : CNF-SAT에서 정점 표지로의 표준 축소는 매우 쉽습니다. 각 항 (변수 또는 부정)에 대한 정점을 만들고, 각 변수를 모서리에 의해 부정에 연결하고, 각 절을 클릭하십시오. 절의 각 정점을 절의 용어 중 하나에 대한 정점에 연결합니다. 알려진 만족스러운 할당으로 만족도 문제로 시작하면 알려진 최적의 솔루션으로 정점 커버 문제가 발생합니다 (할당으로 주어진 정점이라는 용어를 선택하고 각 절에서 하나의 정점을 제외한 모든 정점을 선택하십시오. 선택되지 않은 절 정점은 선택되는 정점에 인접합니다).

따라서 이제 만족스러운 할당이 있지만 솔루션을 찾기 어려운 만족도 문제를 찾아야합니다. 하드 만족도 문제를 생성하는 알려진 방법이 많이 있지만 (예 : 만족도 임계 값에 가까운 임의의 k-SAT 인스턴스 생성) 만족스러운 할당을 알고 있다는 추가 요구 사항은 가능성을 제한합니다. 여기서 할 수있는 한 가지는 분해와 같은 암호화 적으로 어려운 문제에서 다른 수준의 축소를 거치는 것입니다. 즉, 두 개의 큰 소수 p와 q를 선택하고 p와 q를 이진수로 곱하기위한 부울 회로를 설정 한 다음 각 입력 (p와 q) 및 각 중간 값에 대한 변수가있는 CNF 공식으로 변환합니다. 회로의 와이어, 각 출력에 올바른 값을 갖도록 강제하는 조항, 및 게이트의 입력 및 출력이 서로 일치하도록하는 각 게이트에 대한 조항. 그런 다음이 CNF 공식을 정점 표지로 변환하십시오.

보다 간단한 전략을 위해서는 먼저 3CNF 수식에 만족할만한 할당을 선택한 다음 할당과 일치하는 절만 유지하면서 절을 임의로 생성 한 다음 정점 표지로 변환하십시오. 절이 균일 한 확률을 갖는 경우 이는 학위 기반 휴리스틱에 취약 할 것입니다 (선택된 할당과 일치하는 정점이라는 용어는 그렇지 않은 정점보다 낮은 등급을 갖습니다). 그러나 이러한 단점은 절의 확률을 조정하여 피할 수 있습니다 선택한 조항에 동의하는 조항의 조항 수에 따라 아마도 이것은 일종의 다항식 시간 공격에 취약하지만 정점 커버에는 자연스럽지 않을 수 있으므로 경도를 많이 보장하지 않아도 좋은 테스트 인스턴스를 만들 수 있습니다.

— 데이비드 엡스타인
소스

\cap

$\cap$

내가 찾은 가장 가까운 심판 은-Sundar Vishwanathan 의 대략적인 정점 표지의 하드 인스턴스입니다 . 정확한 문제의 어려운 사례를 보는 것에 대한 심판은 보지 못했습니다.

내 의견에서와 같이 SAT에 대한 이러한 대응 방법에 대한 방대한 연구가 정점 표지로 환원 될 수 있습니다.

re DEs의 의견에 따르면 무작위 인스턴스를 생성하고 표준 알고리즘에 어려운 인스턴스를 선택한다는 아이디어는 SAT와 유사한 연구를위한 표준 운영 절차 인 경험적 / 실험적 연구 접근 방식 [1]을 사용하는 것이 매우 합리적입니다. 전환점. [2]

그런데이 "하드"영역이 다른 NP 완료 문제에 대한 것이라면 어떤 말도 할 수있다 [3,4,5]. 이진으로 지정된 임의의 인스턴스에서 1의 "밀도"의 임계점과 대략 관련이있다. 정점 커버의 경우 아마도 가장자리 밀도에 해당합니다.

하나의 하드 인스턴스를 구성 할 수 있으며 하드 인스턴스 만 구성한다는 것은 기본적으로 P 대 NP 문제와 동일합니다. 이 동등성에 대한보다 공식적인 분석은 Razborov / Rudich Natural Proofs 논문에 있습니다.

[1] 실험 알고리즘

[2] SAT 단계 전이 연구

[3] NP 하드 문제에서의 위상 천이

[4] NP- 완전 문제에서의 위상 전이 : 무어의 확률, 조합 및 컴퓨터 과학 에 대한 도전

[5] Walsh의 위상 전이 동작

— vzn
소스