홀수 짝수 문제

허락하다 $G = ( V, E )$그래프입니다. 허락하다$k \leq |V|$정수 여야합니다. 허락하다$O_k$ 가장자리 유도 하위 그래프의 수 $G$ 갖는 $k$정점과 홀수의 가장자리. 허락하다$E_k$ 가장자리 유도 하위 그래프의 수 $G$ 갖는 $k$정점과 짝수의 가장자리. 허락하다$\Delta_k = O_k - E_k$. ODD EVEN DELTA 문제는 컴퓨팅으로 구성됩니다$\Delta_k$주어진 $G$ 과 $k$.

질문

1. 계산이 가능합니까 $\Delta_k$다항식 시간에? 그것을 계산하는 가장 잘 알려진 알고리즘은 무엇입니까?
2. 만약 $G$ 규칙적인가?
3. 만약 $G$ 규칙적인 이분법은 무엇입니까?
4. 만약 $G$ 3 분할이 분면은 무엇입니까?

ODD EVEN DELTA 문제는 3 개의 정규 이분 평면 그래프에서도 # P-hard입니다.

허락하다 $\mathcal{C}$ 일반 그래프의 정점 커버 세트 $G$. 그런 다음,$G$ 분리 된 정점이없는 경우 다음 방정식이 유지됩니다 (증거에 대해서는 위 기사 참조).

$$|\mathcal{C}| = 2^{|V|} - \sum_{k = 2}^{|V|} \Delta_k \cdot 2^{|V|-k}$$

정점 커버링은 3 개의 정규 이분 평면 그래프에서도 # P- 완료되며, ODD EVEN DELTA 오라클에 대한 선형적인 호출로 수행 할 수 있습니다.

최신 정보:

아래 답변은 특별한 경우에 관한 것입니다. $k = |V|$. 이 경우는 어렵 기 때문에 일반적인 문제$k$ 또한 어렵다.

Holant 프레임 워크는 기본적으로 스패닝 서브 그래프에 대한 지수 합입니다 (즉, 모든 정점이 서브 그래프에 있으므로 합은 엣지의 서브 세트 위에 있음). 대조적으로, 현재 버전의 문제는 에지 유도 서브 그래프에 관한 것입니다.

이 질문의 이전 버전은 분리 된 정점이없는 특정 하위 그래프를 계산하는 것과 관련이 있습니다. 아래 답변은이 요구 사항을 올바르게 해결합니다. 스패닝 하위 그래프 (예 : Holant 프레임 워크)와 분리 된 정점을 모두 고려할 때 에지 유도 하위 그래프를 고려하는 것과 같습니다.$|V|$정점. OP는 기본적 으로이 질문 에서 이것을 지적 했다 .

3- 정규 평면 그래프

현재 그래프에 대한 요구 사항을 무시하겠습니다. $G$ 이분입니다.

한다고 가정 $G$3 정규 평면 그래프입니다. 문제는이 분면 평면 홀란 트 문제로 표현 될 수 있습니다

$$\text{Pl-Holant}([1,0,-1]|[0,1,1,1]).$$

방법을 설명하겠습니다. 아래에서 제공하는 것보다 자세한 내용은 이 백서를 참조하십시오 .

홀란 트는 모서리에 대한 할당 초과 (부울)입니다. 정점에는 입력이 사건 가장자리에 할당되는 제약 조건이 있습니다. 모서리에 할당 할 때마다 모든 정점 구속 조건의 곱을 가져옵니다.

고립 된 꼭짓점이 없어야한다는 요구 사항은 입사 가장자리가 선택되지 않은 경우 특정 꼭짓점에서 충족되지 않고 하나 이상의 가장자리가 선택된 경우 충족되는 구속 조건입니다. 이 대칭 구속 조건은 [0,1,1,1]으로 표시되며, 입력 1의 수가 0 일 때 (즉, 하위 그래프에 인시던트 에지가 없을 때) 0을 출력하고 (즉, 하위 그래프에 입사 에지가 없음) 숫자가 1 일 때 (즉, 만족) 출력합니다. 입력 1의 1은 1, 2 또는 3입니다 (즉, 하위 그래프에서 1, 2 또는 3 개의 입사 에지).

다른 요구 사항은 짝수의 가장자리를 가진 하위 그래프 수에서 홀수의 가장자리를 가진 하위 그래프를 뺀 것입니다. 우리의 그래프$G$각 모서리를 길이 2의 경로로 바꿉니다. $G$). 이것은 (2,3) 정규 이분 그래프를 제공합니다. 모든 원본 정점에 제약 조건 [0,1,1,1]을 위에서 할당합니다. 모든 새로운 정점에 제약 조건 [1,0, -1]을 할당합니다. 이 구속 조건의 중간 엔트리가 0이기 때문에,이 차수 2 정점의 입사 에지는 모두 0에 할당되거나 (즉, 하위 그래프에 없음) 또는 모두 1에 할당됩니다 (즉, 하위 그래프에). 이제 가장자리에 특정 할당에 대해$n$ "원본"모서리의 값이 짝수이면 모든 차수 2 정점의 기여도는 $(-1)^n = 1$. 그렇지 않으면,$n$ 홀수이고 기여는 $(-1)^n = -1$. 이것이 바로 당신이 원하는 것입니다.

이 이원자 홀 런트 문제는 이 논문의 정리 6.1에 의해 # P-hard 입니다. 그러나 그 정리가 가장 쉬운 것은 아닙니다. 대신 다음을 고려하십시오.

우리는 홀로그램 변환을 $T = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},$Holant의 가치를 바꾸지 않습니다. 따라서 위의 문제는

$$\begin{align*} \text{Pl-Holant}([1,0,-1]|[0,1,1,1]) &= \text{Pl-Holant}([1,0,-1] T^{\otimes 2}|(T^{-1})^{\otimes 3}[0,1,1,1])\\ &= \text{Pl-Holant}([1,-1,0]|[1,0,0,1]). \end{align*}$$

그렇다면 이 논문 에서 Theorem 1.1은이 문제가 # P-hard라는 것을 쉽게 알 수 있습니다 .

이분 그래프로 제한

이전 질문 과 마찬가지로 이분 그래프로 제한된 동일한 문제는 처리하기가 훨씬 어렵고 여전히 열린 문제라고 생각합니다. 우리는 다루기 쉬운 사례에 대해 추측 할 수 있습니다 (그리고 문제가 그 중 하나인지 확인할 것입니다).