선형 비교를 통한 대략적인 1d TSP?

1 차원 이동 영업 사원 경로 문제는 분명히 분류와 같은 것이므로 시간의 비교로 정확하게 해결할 수 있지만 근사와 정확한 근사 방식으로 공식화됩니다. 해결책이 합리적입니다. 계산 모델의되는 입력 실수가 있으며 정수로 라운딩하는 것은 그것이 내로 근사 쉽게 가능하다 인자, 어떤 일정에 대한 시간에, : 최소값과 최대 값을 찾아 모든 값을 원래 값의 거리 이내의 숫자로 반올림 한 다음 기수 정렬을 사용합니다. 그러나 반올림이있는 모델은 복잡한 이론에 문제가 있으며 이것이 약한 계산 모델은 어떻습니까?$O(n\log n)$$1+O(n^{-c})$$c$$O(n)$$(\max-\min)n^{-(c+1)}$

따라서 시간 복잡도가 o (n \ log) 인 알고리즘을 사용하여 선형 비교 트리 계산 (각 비교 노드가 입력 값의 선형 함수의 부호를 테스트 함)에서 1 차원 TSP를 얼마나 정확하게 근사 할 수 있습니까? n)$o(n\log n)$ ? 동일한 반올림 방법을 사용하면 n ^ {1-o (1)} 형식의 근사 비율을 $n^{1-o(1)}$얻을 수 있습니다 (이진 검색을 사용하여 반올림을 수행하고 훨씬 더 거칠게 반올림하여 충분히 빠름). 그러나 일부 \ epsilon> 0에 대해 O (n ^ {1- \ epsilon}) 과 같은 근사 비율조차 달성 할 수 있습니까?$O(n^{1-\epsilon})$$\epsilon>0$

편집 (업데이트) : 아래 답변에서 하한은 "유클리드 여행 세일즈맨 투어와 최소 스패닝 트리의 근사화 복잡성"에서 Das et al; Algorithmica 19 : 447-460 (1997).

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비교 기반 알고리즘을 사용하여 시간의 에 대해 과 같은 근사화 비율을 달성 할 수 있습니까?ϵ > 0 o ( n log n $O(n^{1-\epsilon})$$\epsilon>0$$o(n\log n)$

아니요. 여기에 하한이 있습니다.

청구. 임의의 경우 , 모든 비교 기반 -approximation 알고리즘이 필요 최악의 경우의 비교.n 1 − ϵ Ω ( ϵ n log n $\epsilon>0$$n^{1-\epsilon}$$\Omega(\epsilon n\log n)$

"비교 기반"이란 이진 (True / False) 쿼리로 입력 만 쿼리하는 알고리즘을 의미합니다.

여기 증명을 시도합니다. 잘하면 실수는 없습니다. FWIW 하한은 무작위 알고리즘으로 확장 될 것 같습니다.

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과 임의로 작지만 일정한 수정하십시오 .ϵ > $n$$\epsilon>0$

만 고려하십시오"치환"입력 인스턴스 의 치환이다 . 그러한 인스턴스에 대한 최적의 솔루션은 비용 입니다.( x 1 , x 2 , … , x n ) [ n ] n - $n!$$(x_1,x_2,\ldots,x_n)$$[n]$$n-1$

정의 비용 순열의에게 하는. 입력으로서 순열 복용으로 모델링 알고리즘 순열을 출력, 선정 및 지불 .c ( π ) = ∑ i | π ( i + 1 ) − π ( i ) | π π ′ d ( π , π ′ ) = c ( π ′ ∘ π $\pi$$c(\pi) = \sum_i |\pi(i+1) - \pi(i)|$$\pi$$\pi'$$d(\pi,\pi') = c(\pi'\circ \pi)$

이러한 인스턴스에서 경쟁 비율 을 달성하기 위해 비교 기반 알고리즘의 최소 비교 횟수로 를 정의하십시오 . opt가 이므로 알고리즘은 최대 비용을 보장해야합니다 .n 1 − ϵ n − 1 n 2 − $C$$n^{1-\epsilon}$$n-1$$n^{2-\epsilon}$

우리는 표시됩니다 .$C\ge \Omega(\epsilon n\log n)$

가능한 모든 출력 대해 를 정의 하여 출력 가 최대 비용을 달성 할 수 있는 가능한 입력의 비율로 정의하십시오 . 이 분수는 무관 합니다.π ′ π ′ n 2 − ϵ π $P$$\pi'$$\pi'$$n^{2-\epsilon}$$\pi'$

π c ( π ) n 2 - ϵ π ′ I P d ( π , I ) n 2 - ϵ d ( π , I ) = c ( π $P$ 는 또한 임의 순열 경우 비용 가 최대 일 확률과 같습니다 . (이유를 확인하려면 를 항등 순열 . 그러면 는 이 최대 인 입력의 비율 이지만 입니다.)$\pi$$c(\pi)$$n^{2-\epsilon}$$\pi'$$I$$P$$d(\pi,I)$$n^{2-\epsilon}$$d(\pi,I) = c(\pi)$

보조 정리 1. .$C \ge \log_2 1/P$

증명. 항상 미만의 비교를 사용하는 알고리즘을 수정하십시오 . 알고리즘에 대한 의사 결정 트리를보다 깊이 , 그래서 거기 미만에있다 , 잎, 일부 출력 순열에 대한 , 알고리즘은 제공 이상에 대한 출력으로 입력의 분수. 정의에 따라 이러한 입력 중 하나 이상에 대해 출력 는 보다 많은 비용을줍니다 . QEDlog 2 1 / P 1 / P π ′ π ′ P P π ′ n 2 − $\log_2 1/P$$\log_2 1/P$$1/P$$\pi'$$\pi'$$P$$P$$\pi'$$n^{2-\epsilon}$

Lemma 2. .$P \le \exp(-\Omega(\epsilon n\log n))$

Lemma 2의 증거를 제공하기 전에 두 개의 lemma가 함께 주장을합니다.

$$C ~\ge~ \log_2 \frac{1}{P} ~=~ \log_2 \exp(\Omega(\epsilon n\log n)) ~=~ \Omega(\epsilon n\log n).$$

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Lemma의 증명 2. 를 무작위 순열 이라고하자 . 호출은 그 비용과 동일 할 확률 최대 인 . 모든 쌍 이 비용 이있는 모서리 라고 가정하십시오따라서 는 간선 비용의 합입니다.P c ( π ) n 2 − ϵ ( i , i + 1 ) | π ( i + 1 ) − π ( i ) | c ( π $\pi$$P$$c(\pi)$$n^{2-\epsilon}$$(i,i+1)$$|\pi(i+1)-\pi(i)|$$c(\pi)$

이라고 가정하십시오 .$c(\pi) \le n^{2-\epsilon}$

그런 다음 에 대해 최대 의 비용이 됩니다. 이하 비용의 가장자리 말 있습니다 저렴 .n 2 - ϵ / q q $q>0$$n^{2-\epsilon}/q$$q$$q$

수정 . 가장자리의 최대 을 대체하고 단순화 하는 것은 저렴하지 않습니다. n 1 − ϵ /$q=n^{1-\epsilon/2}$$n^{1-\epsilon/2}$

따라서, 적어도 가장자리가 싸다. 따라서, 저렴한 에지를 포함 하는 세트 가 있다.S n /$n - n^{1-\epsilon/2} \ge n/2$$S$$n/2$

청구. 주어진 설정에 대한 의 모서리의 모든 모서리 확률 싼 가장에있을 수 있습니다 .n / 2 S exp ( − Ω ( ϵ n log n ) $S$$n/2$$S$$\exp(-\Omega(\epsilon n \log n))$

우리가 그 주장을 증명하기 전에, 다음과 같은 주장을 암시한다는 점에 유의하십시오. 주장과 순진한 결합으로, 그러한 집합 가 존재할 확률 은 최대 ($S$

$${n\choose n/2} \exp(-\Omega(\epsilon n \log n)) ~\le~ 2^n \exp(-\Omega(\epsilon n \log n))$$ $$~\le~ \exp(O(n) -\Omega(\epsilon n \log n)) ~\le~ \exp(-\Omega(\epsilon n \log n)).$$

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청구 증명. 다음 절차에 따라 를 선택하십시오 . 선택 을 균일하게 행 다음 선택 균일에서 다음 선택 균일에서 등π ( 1 ) [ n ] π ( 2 $\pi$$\pi(1)$$[n]$$\pi(2)$π ( 3 ) [ n ] - { π ( 1 ) , π ( 2 ) $[n] - \{\pi(1)\}$$\pi(3)$$[n]-\{\pi(1),\pi(2)\}$

모서리 를 고려하십시오 . 을 선택하려고 할 때 를 선택한 직후의 시간을 고려하십시오 . 관계없이 제 선택 (대 에 대한 ) 적어도있다 위한 선택 및 최대 이들의 선택하면 가장자리 비용이 보다 저렴합니다 (싸게 만듭니다).S π ( i ) π ( i + 1 ) i π ( j ) j ≤ i n − i π ( i + 1 ) 2 n 1 - ϵ / 2 ( i , i + 1 ) n 1 − ϵ /$(i,i+1)$$S$$\pi(i)$$\pi(i+1)$$i$$\pi(j)$$j\le i$$n-i$$\pi(i+1)$$2n^{1-\epsilon/2}$$(i,i+1)$$n^{1-\epsilon/2}$

따라서 첫 번째 선택에 따라 가장자리가 저렴할 확률은 최대 입니다. 따라서 모든 모서리 가 저렴할 확률 은 최대 이후 , 적어도있다 의 가장자리 와 . 따라서이 제품은 최대 2 n 1 − ϵ /$i$$\frac{2n^{1-\epsilon/2}}{n-i}$S ∏ ( i , i + 1 ) ∈ S 2 n 1 − ϵ /$n/2$$S$| S| ≥n

$$\prod_{(i,i+1)\in S} \frac{2n^{1-\epsilon/2}}{n-i}.$$ n / 4 S n − i ≥ n / 4 ( 2 n 1 − ϵ /$|S|\ge n/2$$n/4$$S$$n-i\ge n/4$ $$\big(\frac{2n^{1-\epsilon/2}}{n/4}\big)^{n/4} ~\le~(8n^{-\epsilon/2})^{n/4} ~=~\exp(O(n)-\Omega(\epsilon n \log n)) ~=~\exp(-\Omega(\epsilon n \log n)).$$

QED