유사한 행렬

주어진 두 개의 행렬 및 순열 행렬이 존재하면 결정의 문제를 되도록 동일하다 (그래프 동형). 그러나 우리가 를 단지 뒤집을 수없는 행렬로 완화한다면 , 복잡성은 무엇입니까? 이 문제 또는 다른 어려운 문제 와 관련이있는 치환과는 별도로, 가역 행렬 에 대한 다른 제한 이 있습니까? $n \times n$ $A$ $B$ $P$ $B = P^{-1}AP$ GI $P$ $P$ GI

— 두르 가다 타
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답변을 게시하기 전에이 질문을했을 수도 있지만 여기에이 질문을 게시하기 전에 어떻게 하시겠습니까?

— Ito Tsuyoshi

@ TsuyoshiIto wikipdia 및 mathworld에서 시도하고 Google에서 일부 검색어를 시도했지만이 질문이 너무 기본적이지 않습니까? 이 문제의 변형이 GI에 대한 통찰력을 줄 수 있다면 더 관심이있었습니다.

— DurgaDatta

감사. 나는 질문의 수준은 괜찮다고 생각하지만, 왜 당신이 나와 같은 결론에 도달하지 못했는지 궁금합니다. 내가 답을 한 것은 Wikipedia에서“매트릭스 유사성”을 찾아서 쉽게 계산할 수있는 정규 형식을 찾는 것입니다 (대수적으로 닫힌 필드가 필요한 요르단 일반 형식과 달리). Wikipedia를 더 자세히 살펴보면 동일한 정보를 찾을 수 있다고 생각합니다.

— 이토 쓰요시

나는 다음에 조심할 것이다. 감사합니다.

— DurgaDatta

답변:

요소가 필드 F 에있는 행렬 A 와 B 는 동일한 Frobenius 정규 형식 을 갖는 경우에만 유사합니다 ( F ) . 빠른 검색에 따르면, n × n 행렬 의 Frobenius 정규 형식은 O ( n ³ ) 필드 연산 [Sto98] 으로 계산 될 수 있으며 , 이것은 행렬 곱셈의 복잡성과 비교할 수있는 것으로 개선 될 수 있습니다. Sto01].

[Sto98] 아르네 스토 요한. Frobenius 정규형에 대한 O ( n ³ ) 알고리즘. 에서 기호 및 대수 계산에 1998 국제 심포지엄 (ISSAC) 논문집 , PP (101-105) 8 월 1998 DOI :. 10.1145 / 281508.281570 .

[Sto01] 아르네 스토 요한. Frobenius 형식의 결정 론적 계산. 에서 컴퓨터 과학의 기초에 42 IEEE 심포지엄 (FOCS) , PP 368-377 년 10 월 2001 DOI :. 10.1109 / SFCS.2001.959911 .

— 이토 츠요시
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$P$ $P$ $P_1 \otimes P_2 \otimes P_3$

$G_n$ $X_n$ $n$ $x,y \in X_n$ $G_n$ $G_n$ on a vector space $V_n$ , consider the orbit problem of the induced action of $G_n$ (by conjugation) on $X_n = V_n \otimes (V_n)^*$ .

For graph isomorphism we have $G_n = S_n$ and $V_n = \mathbb{R}^n$ with the natural action by permuting coordinates. For matrix conjugation we have $G_n = \text{GL}_n(\mathbb{F})$ in its natural action on $V_n = \mathbb{F}^n$ . For the above example we have $G_n = \text{GL}_a \times \text{GL}_b \times \text{GL}_c$ in its natural action on $V_n = \mathbb{F}^{a} \otimes \mathbb{F}^b \otimes \mathbb{F}^c$ .

— Joshua Grochow
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