treewidth와 관련된 그래프 매개 변수

다음 프로세스를 통해 생성 할 수있는 개의 정점 에 대한 그래프에 관심 이 있습니다.$n$

1. 정점 에서 임의의 그래프 시작 합니다. 모든 정점 레이블 G를 같이 하지 않는 .k ≤ n $G$$k\le n$$G$
2. 새로운 생산 그래프 $G'$ 새로운 정점 부가함으로써 $v$ 하나 이상에 접속되어, 미사용 정점 $G$ , 및 연결되지 않은 사용 정점 $G$ . $v$ 를 사용하지 않는 레이블 로 지정하십시오 .
3. 정점의 라벨 하나 $G'$ 되는 $v$ 로 접속되어 사용 .
4. $G$ 를 G '로 설정 $G'$하고 $G$ 에 $n$ 개의 꼭짓점이 포함될 때까지 2 단계부터 반복하십시오 .

"복잡도의 그래프와 같은 그래프를 호출 $k$ (모호한 용어를위한 사과)". 예를 들어, $G$ 복잡 하나의 그래프이고, $G$ 경로이다.

이 과정이 이전에 연구되었는지 알고 싶습니다. 특히, 임의의 $k$ 에 대해, 그래프가 복잡도 k 를 갖는지 여부를 결정하는 것은 NP- 완전 $k$입니까?

이 문제 는 가 부분 트리인지 , 즉 트리 폭 를 갖는지 에 대한 질문과 다소 유사 해 보입니다 . 에 트리 폭 가 있는지를 결정하는 것은 NP- 완전한 것으로 알려져있다 . 그러나 일부 그래프 (예 : 별)는 여기에서 논의 된 복잡성 측정치보다 훨씬 작은 트리 폭을 가질 수 있습니다.k$G$$k$ G $k$$G$$k$

2012 년 10 월 4 일 : 일주일이 지난 후에도 결정적인 대답이 없었지만 MathOverflow에 교차 게시 된 질문 (인과 관계에 대한 정보 덕분에).

이전에 직접 대화했지만 다른 사람이 완전한 답변을 제공 할 수 있기를 바랍니다.

꼭지점을 추가하는 프로세스에서, 일부 기능 정의 각 정점에서 V 때 첨가 정점에 사용 얻는다 V가 익숙해있다. 그런 다음 f 는 (인과 적) 흐름 함수 (p. 39)이며 경로 덮개의 제한된 버전입니다. 실제로, "복잡성 k "(처음 사용되지 않은 정점 및 최종 사용되지 않은 정점으로 제공되는 정점 세트)에 대한 이러한 그래프에 대한 설명 은 정확히 인과 적 흐름과 함께 "형상"의 별 분해입니다 (p. 위 기사의 46).$f:V(G) \rightharpoonup V(G)$$v$$v$$f$

비록 이러한 "인과 적 흐름"이 (측정 기반) 양자 계산의 맥락에서 주로 연구되었지만 (단일 회로의 특정 구조에 의해 동기가 부여되는) 양자 계산과 완전히 분리 된 이들에 대한 그래프 이론적 결과가 있습니다.

특이 모듈 엔드 포인트 : "복잡성과 그래프  "사람들이있는 (아마도 교차) 세트가 존재 정확하다 S , T ⊆ V ( G ) 의 크기를 모두 K 되도록, G는 크기가 정확히 하나의 경로 커버 갖는 K 경로 S 에서 시작하여 T로 끝납니다.$k$$S,T \subseteq V(G)$$k$$G$$k$$S$$T$

극값 그래프 : 에 그래프 "복잡성 갖는 정점 k는 "기껏 갖는 K N - ( K + $n$$k$ 가장자리.$kn - \binom{k+1}{2}$

이들 결과를 이용하여, 후보 세트의 세트 주어지면, 이러한 방식으로 그들이 고유 한 경로 커버를 "소위"하는지 여부를 결정하는 것은 시간 O ( k 2 n ) 에서 결정될 수 있고 ; 그러나 명백한 어려움 인 그러한 종말점 세트가 존재하는지 여부를 발견하고, 상기 극한의 결과 (필요 조건 일뿐)는 그러한 세트가 존재 하는지를 결정하기위한 효율적인 기준으로 최신 기술을 나타내는 것으로 보인다.$S,T$$O(k^2 n)$

복잡도 의 모든 그래프는 최대 k의 경로 너비를 갖습니다 . 모든 단계에서 사용되지 않은 노드 세트는 사용 된 노드를 이미 작성된 노드와 분리하는 구분 기호입니다. 따라서 모든 단계에서 정점을 추가 할 때 해당 정점과 사용되지 않은 모든 정점을 포함하는 백을 생성하고 경로 분해의 끝에 백을 연결할 수 있습니다. 이것은 유효한 경로 분해입니다.$k$$k$

점 3과 2의 " 가 연결되어 있기"때문에 경로 너비는 k 보다 훨씬 작을 수 있습니다 . 나는 G 가 복잡성 k 인지 결정하는 것에 대해 확신하지 못하지만, Niel이 말했듯이 k 크기의 경로 덮개가 있어야하지만 경로 덮개뿐만 아니라 경로가 유도되어야합니다. 그리고 경로 사이에서 우리는이 지그재그 패턴을 가질 수 있습니다. 우리는 f ( k ) ⋅ p o l y ( n ) 시간에서 최적의 경로 분해를 계산할 수 있습니다. 그런 다음이 분해를 사용하여 이러한 k 의 다른 세그먼트를 추적하면서 동적 프로그래밍을 수행 할 수 있습니다$v$$k$$G$$k$$f(k) \cdot poly(n)$$k$경로, 해당 경로 및 동일한 경로에 속하는 세그먼트 순서. 다른 경로에 속하는 각 세그먼트 쌍에 대해 지그재그의 첫 번째 및 마지막 경로 만 알면됩니다.

따라서 그래프에 복잡도 in f ( k ) ⋅ p o l y ( n ) 가 있는지 여부를 결정할 수 있다고 생각 합니다.$k$$f(k) \cdot poly(n)$