매트릭스 파워 링의 복잡성

하자 사각형 정수 행렬 및하자 양의 정수를합니다. 다음 의사 결정 문제의 복잡성에 관심이 있습니다. $M$ $n$

의 오른쪽 상단 항목이 $M^n$ 양수입니까?

반복 된 제곱 (또는 다른 명시 적 계산)의 명백한 접근 방식은 두 배의 지수 크기, 즉 지수 적으로 많은 비트를 갖는 정수를 잠재적으로 처리해야합니다. 그러나이 문제는 Allender 등의 "PosSLP"클래스 ( "숫자 분석의 복잡성", SIAM J. Comput. 38 (5) )에 있으므로 계수 계산 계층의 네 번째 수준에있는 것으로 쉽게 나타납니다. .

1)이 매트릭스 구동 문제를 복잡도가 낮은 클래스에 배치 할 수 있습니까?

2) 그렇지 않다면, 아마도 PosSLP-hard 일 수 있습니까?

3) 저 차원 매트릭스, 즉 6x6 매트릭스까지의 매트릭스 파워 문제에 특히 관심이 있습니다. 이러한 매트릭스의 복잡성이 더 낮을 수 있습니까?

cc.complexity-theory linear-algebra matrices

— 조엘
소스

제목을 "매끄러운 매트릭스 파워 링"으로 변경해서는 안됩니까? 행렬 지수 (예 : en.wikipedia.org/wiki/Matrix_exponential 참조 )는 일반적으로 행렬 A, B에 대해 "A = exp (B)"로 이해됩니다.

— Martin Schwarz

편집하겠습니다. 좋은 지적입니다, @MartinSchwarz

— Suresh Venkat

행렬을 PDP-1 형식으로 변환하면 (작은 행렬과 충분히 높은 n의 거듭 제곱은 일정하다고 간주 될 수 있음) 대각선 항목의 각 항목의 부호를 쉽게 알 수 있습니다. 그러면 나머지 두 행렬 곱셈을 쉽게 알 수 있습니다.

— Robert Mason

@ 로버트 메이슨 : 당신이 제안하는 것이 확실하지 않습니다. D가 요르단 표준 형식의 M이면 M ^ n = P ^ (-1) D ^ n P 인 경우 D의 항목은 일반적으로 복잡한 대수이므로 "부호"란 무엇입니까? 다항식 시간으로 D와 P를 계산할 수 있음에 동의하지만 (대수의 표준 표현을 가정) M ^ n = P ^ (-1) D ^ n P의 오른쪽 상단 항목에 대한 식은 식입니다. n의 거듭 제곱과 관련된 다양한 대수를 포함하며,이 표현의 부호를 어떻게 효율적으로 결정할 수 있는지 모르겠습니다.

— Joel

@ 로버트 메이슨 (Robert Mason) : 나는 아직도 이해하지 못한다. 이것은 왜 / 왜 뒤집을 수없는 행렬에 효율적입니까? (그리고 우연히도 "대부분의"행렬은 반대가 아니라 뒤집을 수 없습니다.)

— Joel

행렬의 크기를 들면 매트릭스 전원 켜기 양성 문제점 에 (참조 이 2,015 시트 루인 활성에 표시하는 용지) $k = 2,3$ $\mathsf{P}$

— 사미
소스

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— SamiD