다항식 시간 경도 결과를 표시하는 데 사용할 수있는 문제

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새로운 문제에 대한 알고리즘을 설계 할 때 잠시 후에 다항식 시간 알고리즘을 찾을 수 없으면 대신 NP-hard임을 증명할 수 있습니다. 성공하면 다항식 시간 알고리즘을 찾을 수없는 이유를 설명했습니다. P! = NP임을 확실히 아는 것은 아니며, 이것이 현재의 지식으로 수행 할 수있는 최선이라는 것입니다. 실제로 합의는 P! = NP입니다.

마찬가지로 일부 문제에 대한 다항식 솔루션을 찾았지만 실행 시간은 입니다. 많은 노력을 기울인 후에 나는 이것을 개선하는 데 진전을 보이지 않습니다. 대신 3SUM이 어렵다는 것을 증명하려고 시도 할 수 있습니다. 이것은 3SUM이 실제로 시간을 필요로한다는 나의 최고의 신념이 아니라 현재의 최신 상태이며 많은 똑똑한 사람들이 개선하려고 노력했기 때문에 이것은 일반적으로 만족스러운 상황입니다. 그리고 실패했습니다. 그래서 내가 최선을 다한다는 것은 내 잘못이 아닙니다. $O(n^2)$ $\Theta(n^2)$

이러한 경우 NP의 문제에 대해 Turing Machines에 대한 초 선형 하한이 없기 때문에 실제 하한 대신 경도 결과를 얻을 수 있습니다.

모든 다항식 실행 시간에 사용할 수있는 균일 한 문제 집합이 있습니까? 예를 들어, 어떤 문제가 보다 나은 알고리즘을 가지고 있지 않다는 것을 증명하고 싶다면 X-hard라는 것을 보여줄 수있는 X 문제가 있습니까? $O(n^7)$

업데이트 :이 질문은 원래 문제의 가족을 요구했습니다. 많은 문제 군이 없기 때문에이 질문은 이미 개별 어려운 문제의 훌륭한 예를 얻었으므로 다항식 시간 경도 결과에 사용할 수있는 문제에 대한 질문을 완화하고 있습니다. 또한 더 많은 답변을 장려하기 위해이 질문에 현상금을 추가하고 있습니다.

cc.complexity-theory lower-bounds conditional-results

— 로빈 코타 리
소스

5

maven.smith.edu/~orourke/TOPP/P11.html 페이지에는 3SUM의 하한 (및 상한)과 관련 문제에 대한 결과가 요약되어 있으며 읽을 가치가 있습니다.

— Ito Tsuyoshi

2

초 선형 하한이 없으면 테이프가 두 개 이상인 TM에 해당됩니다. 그렇지 않습니까? 단일 테이프 TM에서 회문을 확인하는 데 2 차 시간 하한이 있다는 것을 어딘가에서 읽었습니다. 우리는 낮은 범위에 대해 말할 때 내 종류의, 대 , 그것은 TM의 정확한 모델은별로 중요하지 않습니다 가정 여전히 OK인가?

P

$P$

Ω (n^{i})

$\Omega(n^i)$

Ω (n^{i + 1})

$\Omega(n^{i+1})$

— gphilip

3

Off topic : Robin, Tsuyoshi, 3SUM 하 한계를 소개해 주셔서 감사합니다.

— gphilip

2

@ 쓰요시 : 정보 주셔서 감사합니다. cs.mcgill.ca/~jking/papers/3sumhard.pdf 주제에 대한 훌륭한 조사입니다 . @ gphilip : 최근에 일부 계산 계에 의해이 문제가 소개되었습니다. 나는 그것이 그 지역에서 매우 잘 알려져 있다고 생각합니다.

— Robin Kothari

좋은 질문입니다. "uniform"의 의미를 명확하게 설명해 주시겠습니까? 매개 변수의 사전 처리량을 제한 하시겠습니까?

— András Salamon

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예,의 가장 잘 알려진 알고리즘 -sum은에서 실행 당신이 주장 할 수 있다는 매우 가능성이 있으므로 약간의 시간이 가에 있다면 때문에 문제가 어렵다 그러면 -SUM을 더 빨리 풀 수 있습니다 . $k$ $O(n^{\lceil k/2 \rceil})$ $n^7$ $n^{6.99}$ $14$

메모 -sum 문제로 "쉽게"얻는다 증가 :위한 개선 된 알고리즘이 주어진 -sum, 그것은을위한 개선 된 알고리즘을 얻기 위해 매우 쉽게 -sum : 모든 소요 쌍 번호에 주어진 -SUM 인스턴스, 각 쌍을 2의 합으로 바꾸고 과 같은 것 중 수 의 합을 찾으십시오 . 그리고, 에 대한 알고리즘 -sum가 내포 위한 알고리즘 -sum. 다른 방법으로 에 대한 단단한 하한 $k$ $k$ $k$ $2k$ $O(n^2)$ $n$ $2k$ $k$ $0$ $O(n^{k/2-\varepsilon})$ $k$ $O(n^{k-2\varepsilon})$ $2k$ $2k$ -SUM은 -SUM에 대한 엄격한 하한보다 더 강력한 가정 입니다. $k$

어려운 문제의 또 다른 후보는 Clique입니다. 그것에 대한 자세한 내용은 내 -Clique 답변을 참조하십시오 . 예를 들어 문제에 대한 더 나은 알고리즘이 -clique에 대한 알고리즘을 암시한다는 것을 보여줄 수 있다면, 알고리즘을 개선하기 위해 획기적인 돌파구가 필요합니다. 매개 변수화 복잡성이 같은 다른 문제의 많은 예를 제공한다 : -Clique는 클래스에 대한 어렵다 , 및 -sum가 어렵다 . $k$ $O(\log n)$ $O(n^2)$ $3$ $k$ $W\[1\]$ $k$ $W\[2\]$

이와 같은 문제는 작업하기가 매우 편리하지만 -SUM 과 같은 문제 는 에서 "가장 어려운"항목 이 아닙니다 . 예를 들어, 모든 문제 는 실제로 선형 시간을 -SUM 으로 줄일 수 있습니다. 이것은 선형 시간에 비트의 비결 정성을 사용하여 -SUM을 해결할 수 있기 때문에 2 차 시간의 모든 것을 -SUM 으로 줄일 수 있으면 및 기타 환상적인 결과가 발생합니다. 이 점에 대한 자세한 내용은 " 하드 문제 가 얼마나 어려운가 ?" 기사에서 찾을 수 있습니다. $3$ $TIME[n^2]$ $TIME[n^2]$ $3$ $3$ $O(\log n)$ $3$ $P \neq NP$ $n^2$ (어느 시점에서 "3SUM-hard"는 " -hard" 라고 불렀습니다 .이 SIGACT 기사는 그 이름에 대해 올바르게 불평했습니다.) $n^2$

— 라이언 윌리엄스
소스

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k-clique를 사용할 때의 유일한 문제는 에서 3-clique를 해결할 수 입니다. 만약 k-clique가 를 요구하는 것처럼 보인다면 , 그것은 훌륭한 자연 가족이 될 것입니다.

O (n^{2} .376)

$O(n^2.376)$

Θ (n^{k})

$\Theta(n^k)$

— Robin Kothari

내가 사용하는 사이에 근본적인 차이가 표시되지 않는 -sum와 -Clique을. -SUM은 짝수 대해 입니다 . 문제에 대한 더 나은 알고리즘이 Clique가 있음을 나타낼 수 있다면 문제 에 대한 더 나은 알고리즘을 찾기가 매우 어렵다는 강력한 증거입니다.

k

$k$

k

$k$

k

$k$

O (n^{k / 2})

$O(n^{k/2})$

k

$k$

k

$k$

O (n^{k / 2})

$O(n^{k/2})$

— Ryan Williams

깔끔한 참조, 라이언. 3SUM이 지오메트리 커뮤니티에서 얼마나 인기가 있는지를 감안할 때 이전에 몰랐다는 것이 부끄럽습니다. 물론 이것은 의문을 제기한다 : 어려움에 대한 자연적인 후보자가 있는가?

n^{2}

$n^2$

— Suresh Venkat

@ 라이언 : 당신이 맞아, 그들은 동일합니다. k-SUM에서는 적어도 약한 모델에서 추측 된 경계가 정확하다는 증거가 있습니다. 나는 3 곱셈이 행렬 곱셈보다 빨리 풀리지 않아야한다고 주장하는 주장을 모른다.

— Robin Kothari

@Robin : 대해 가능한 하한값에 대한 자연 계열의 문제가 좋은 대답이라고 생각 했을 것입니다. 정확한 상수가 덜 중요해 보입니까?

n^{f (k)}

$n^{f(k)}$

f (k) = Θ (k)

$f(k) = \Theta(k)$

— András Salamon

14

APSP (All-Pairs Shortest Paths) 문제는 시간 이 필요한 것으로 생각됩니다 . FMM (Fast Matrix Multiplication)을 기반으로 한 개선은 거의 불가능하다고 주장하는 좋은 방법입니다. $\Omega^\star(n^3)$

— 미하이
소스

2

그래프의 지름은 어떻습니까? 더 좋은 것은 결정적인 문제가된다. "직경이 k 이상인가?" 이것은 내가 아는 한 명백한 초 선형 경계가 없다는 장점이 있습니다.

— Raphael

9

$d$ $O(n^d)$ $n$ $d$ $d+1$

$(d+1)$ $k$ $\Omega(n^{\lfloor d/2 \rfloor +1})$ $d \geq 3$

J. Erickson, S. Har-Peled 및 DM Mount, 최소 중앙값 문제, 이산 및 계산 기하학, 36, 593-607, 2006. http://www.cs.umd.edu/~mount/Papers /dcg06-lms.pdf

J. Erickson과 R. Seidel. 평균 및 구형 변성을 감지 할 때 더 낮은 하한값. 이산 컴퓨팅. Geom., 13 : 41–57, 1995. http://compgeom.cs.uiuc.edu/~jeffe/pubs/degen.html

에릭슨 홀수 치수의 볼록 껍질 문제에 대한 새로운 하한. SIAM J. Comput., 28 : 1198–1214, 1999. http://compgeom.cs.uiuc.edu/~jeffe/pubs/convex.html

— 길레 르미 다 폰세카
소스

이 답변이 마음에 들지만 설명 할 수 있습니까? 왜 믿어?

— Aaron Sterling

8

$\Theta(n^{4/3})$ $n$ $n$

— 제프
소스

7

Hopcroft의 문제를 줄이는 비 기하학 문제가 있습니까?

— Suresh Venkat

나는이 문제에 대해 들어 본 적이 없기 때문에이 답변에 현상금을 수여하기로 결정했습니다.

— 로빈 코타 리