거의 코 그래프의 Cliquewidth

( 이 질문 을 2 주 전에 MathOverflow에 게시 했지만 지금까지는 엄격한 답이 없었습니다)

무 방향 단순 그래프의 그래프 너비 측정에 대한 질문이 있습니다. 코 그래프 (분리 된 정점에서 시작하여 분리 된 결합 및 보완의 연산에 의해 생성 될 수있는 그래프)는 최대 2의 cliquewidth를 갖는다는 것이 잘 알려져있다 (Courcelle et al, 상한은 그래프의 폭에 대한 경계). 이제 어떤 고정 된 음이 아닌 정수 (k)를 고려하고, 그래프 클래스 고려 되도록 그래프 매위한 G = ( V , E ) ∈ G K 세트가 S 가장 K 정점되도록에서의 G [ V는 - S ] 는 그래프입니다. 그래프 클래스 G 이후$\mathcal{G} _k$$G = (V,E) \in \mathcal{G} _k$$S$$G[V - S]$ 는 최대 k 개의 정점을 추가하여 코 그래프로 만들 수있는 그래프 클래스로도 볼 수 있으며,이 클래스는 cographs + k v 라고도합니다.$\mathcal{G} _k$$k$$kv$

내 질문은 : 에서 그래프의 cliquewidth에 대한 엄격한 경계 , 즉 k 꼭지점을 삭제하여 cograph로 전환 할 수있는 그래프는 무엇입니까?$\mathcal{G}_k$

이는 알려져있는 경우 그래프 로부터 얻어진다 H 삭제 유전율 다음 정점 C w ( H ) ≤ 2 K ( C를 승 ( G ) + 1 ) . 이것은 개의 정점 을 삭제 하여 그래프 로부터 코 그래프 G 를 얻을 수 있다면 이므로 에서 그래프의 cliquewidth 는 다음과 같습니다. 최대 입니다. 에 대한 지수 지수 의존성이 확실하지 않습니다.$G$$H$$k$$cw(H) \leq 2^k (cw(G) + 1)$$G$k c w ( H ) ≤ 2 k ( 3 + 1 ) G k 4 ∗ 2 k$H$$k$$cw(H) \leq 2^k (3 + 1)$$\mathcal{G}_k$$4*2^k$$k$필수적이다. 이 맥락에서 나는 정점을 삭제함으로써 cliquewidth의 최대 감소에 관심이있다. 즉, 그래프에서 단일 정점을 삭제하면 cliquewidth가 얼마나 줄어들 수 있습니까?

나는 내 대답이 결정적인지 확실하지 않지만 올바른 방향으로 당신을 가리켜 야하지만이 오래된 질문에 대답하려고 노력할 것입니다.

먼저 선형 경사 폭에 대해 논의하겠습니다. 그래프에 선형 clique-width 가 있고 그래프 에 꼭짓점을 추가 하면 해당 꼭짓점은 항상 고유 한 색상으로 순서대로 첫 번째로 배치 될 수 있습니다. 따라서 정점을 추가 할 때 선형 경사 폭이 최대 1만큼 증가합니다.$k$$1$

구르스키 (Gurski)와 완케 (Wanke)는 "NLC- 폭과 선형 NLC- 폭 사이의 관계"에서 코 그래프가 무한한 선형 파쇄 폭을 가짐을 보여 주었다.

Cographs는 무한한 선형 clique-width를 가지고 있지만 한정된 clique-width를 가지기 때문에 모든 좋은 clique 분해는 트리 구조를 가져야합니다. 우리는 많은 수의 깊은 가지를 임의로 강요 할 수 있음을 보여 주어야합니다. 이제 우리는 나무와 마찬가지로 2 ^ k 개의 잎으로 k 개의 정점을 추가하고 각 잎은 새로운 정점의 고유 한 하위 집합에 연결됩니다.