긍정적 인 토폴로지 순서, 2

이것은 David Eppstein의 최근 질문에 대한 후속 조치 이며 동일한 문제에 의해 동기가 부여됩니다.

정점에 실수 가중치가있는 dag이 있다고 가정합니다. 처음에는 모든 정점이 표시되지 않습니다. (1) 표시되지 않은 선행 작업없이 정점을 표시하거나 (2) 표시된 후속 작업없이 정점을 표시 해제하여 표시된 정점 세트를 변경할 수 있습니다. (따라서 표시된 정점 세트는 항상 부분 순서의 접두사입니다.) 표시된 정점의 총 중량이 항상 음수가 아닌 모든 정점으로 끝나는 일련의 표시 / 표시 해제 작업을 찾고 싶습니다. .

• 이러한 일련의 작업을 찾는 것이 얼마나 어려운가요? David의 문제 와는 달리 ,이 문제가 NP에 있다는 것은 확실하지 않습니다. 원칙적으로 (어떤 예는 없지만) 모든 법적 이동 순서는 지수 길이를 가질 수 있습니다. 내가 증명할 수있는 최선은 문제가 PSPACE에 있다는 것입니다.

• 표시 해제 작업이 실제로 불필요합니까? 유효한 이동 시퀀스가있는 경우 꼭짓점을 표시하지 않는 유효한 이동 시퀀스가 ​​있어야합니까? 긍정적 인 대답은이 문제 를 David의 것과 동일하게 만들 것 입니다. 반면에, 표시 해제가 필요한 경우이를 증명하는 작은 (일정한 크기) 예가 있어야합니다.

정기적 인 666 연구 세미나에서 우리는 다음과 같은 증거를 제시했습니다.

우리는 몇 가지 정의로 시작합니다. P를 우리의 포식자로 삼자. 간단하게하기 위해 가중치의 합계가 0이 아니라고 가정합니다. 정점의 가중치는 w (x)로, 세트의 가중치의 합은 w (X)로 나타냅니다. 세트 X가 Y에 포함되어 있고 X의 요소보다 큰 Y의 모든 요소가 X에도있는 경우 세트 X는 Y- 업 (닫힘)이라고합니다. 마찬가지로, 세트 X는 Y- 다운이라고합니다. 는 Y에 포함되고 X의 요소보다 작은 Y의 모든 요소도 X에 있습니다.이 언어에서 표시된 요소 세트는 항상 P-down이어야합니다.

우리는 모순으로 증명합니다. 모든 요소를 ​​표시하는 가장 짧은 표시 / 표시 해제 순서를 취하십시오. 우리는 그러한 시퀀스를 전체라고 부릅니다. 특정 시점에서 이전에 표시되었지만 이제 표시되지 않은 요소 세트를 고려하십시오. 이 세트를 U로 표시하십시오.

주장 : w (U)> 0.

증명 : U-up 세트 X의 무게가 양수임을 증명합니다. 증명은 X의 크기를 유도하는 것입니다. X- 다운 세트 Y가 w (Y)> 0과 같은 Y 인 경우, 유도에 의해 w (X \ Y)> 0임을 알 수 있습니다. X-up)에는 w (X)> 0도 있습니다. 모든 X- 다운 세트 Y에 대해 w (Y) <0을 갖는 경우이 시점까지 시퀀스에서 X 요소의 모든 표시 및 표시 해제를 삭제하면 전체 시퀀스가 ​​짧아집니다. 우리는 주장의 증거로 이루어집니다.

이제 현재 표시되지 않은 요소의 집합 U에 대해 w (U)> 0 인 전체 시퀀스가 ​​있다고 가정합니다. 모든 요소의 첫 번째 마킹을 취하고 아무것도 표시하지 않음으로써 우리가 얻은 순서를 취하십시오. 이것은 마크 된 요소들의 세트가 항상 P- 다운이라는 것을 만족시키는 완전한 시퀀스 일 것임이 명백하다. 또한, 주어진 시간에 차이가 w (U)이기 때문에 가중치의 합은 항상 원래의 시퀀스만큼이나 클 것이다. 우리는 끝났습니다.

이 방법을 사용하면 P 전체를 표시하는 대신 P의 하위 집합 만 표시하려는 경우 일련의 표시와 일련의 표시 해제로 수행 할 수 있음을 증명할 수도 있습니다. 마지막에 일부 요소 U가 표시되지 않은 상태로 유지되지만 U- 업 세트의 가중치가 양수이므로 시퀀스의 끝으로 이동할 수 있다는 점을 제외하면 증거는 동일합니다.