선형 시스템이 컴퓨터 과학에 왜 그렇게 / 중요한가?

나는 최근에 수학 최적화에 참여하기 시작했고 그것을 좋아하고 있습니다. 많은 최적화 문제가 선형 프로그램 (예 : 네트워크 흐름, 가장자리 / 정점 표지, 여행 세일즈맨 등)으로 쉽게 표현되고 해결 될 수있는 것 같습니다. 최적으로 해결되지 않으면 '선형 프로그램으로 프레임'됩니다.

우리는 항상 학교 / 대학 전체에 걸쳐 선형 방정식, 선형 대수 시스템을 배웠습니다. 그리고 다양한 알고리즘을 표현할 수있는 LP의 힘을 보면 매우 흥미로울 것입니다.

질문 : 비선형 시스템이 우리 주변에 널리 퍼져 있지만 선형 시스템이 컴퓨터 과학에 얼마나 중요한 이유는 무엇입니까? 나는 그들이 이해를 단순화하는 데 도움이되며 대부분 계산적으로 다루기 쉽다는 것을 알고 있습니까? 이 '근사치'는 얼마나 좋습니까? 우리는 지나치게 단순화하고 있으며 실제로 결과는 여전히 의미가 있습니까? 아니면 그것은 단지 '자연'입니까, 즉 가장 매혹적인 문제가 실제로는 직선적입니까?

'선형 대수 / 방정식 / 프로그래밍'이 CS의 초석에 있다는 것이 안전합니까? 그렇지 않다면 무엇이 좋은 모순일까요? 우리는 비선형적인 것들을 얼마나 자주 다루는가? 위로 선형?)

이 문제의 전제는 약간의 결점이있다. 최소 제곱 문제는 선형 문제만큼 거의 '쉽기'때문에 2 차학은 다루기 쉽고 모델링의 실제 "경계"라고 주장하는 사람들이 많다. 볼록 함 (또는 경우에 따라 하위 모듈화도)이 다루기 쉬운 경계라고 주장하는 다른 사람들도 있습니다.

아마도 더 관련성이있는 것은 "왜 선형 시스템이 다루기 쉬운 솔루션을 허용합니까?" 정확히 당신이 요구 한 것이 아니라 관련이 있습니다. 이것에 대한 한 가지 관점은 작곡 성입니다. 선형 시스템의 정의 속성은$f(x + y) = f(x) + f(y)$이는 시스템에 일종의 "메모리 없음"을 부여합니다. 문제에 대한 해결책을 마련하기 위해 개별 조각에 집중하고 페널티없이 결합 할 수 있습니다. 실제로 흐름에 대한 대부분의 알고리즘의 전제는 정확히 그 것입니다.

이 기억력은 효율성을 부여합니다. 나는 일을 여러 조각으로 나누거나 반복적으로 일할 수 있으며 그렇게함으로써 잃지 않습니다. 나는 여전히 나쁜 결정을 내릴 수 있지만 (욕심 많은 알고리즘 참조) 사물 자체를 분리하는 행위는 나에게 해가되지 않습니다.

이것이 선형성이 그러한 힘을 갖는 이유 중 하나입니다. 아마도 많은 사람들이있을 것입니다.

" 비선형 시스템이 우리 주변에 널리 퍼져 있지만 선형 시스템이 어떻게 컴퓨터 과학에 그렇게 중요한가?"

내 생각에는 부분 답이 있습니다. 자연은 객체 / 현상이 풍부하기 때문에 피연산자에서 비선형이지만 실제로는 선형 공간의 멤버 인 함수로 나타낼 수 있다고 생각합니다. 파동은 힐버트 공간, 푸리에 스펙트럼의 구성 요소, 다항식 고리, 확률 론적 과정에서 작동합니다. 모두 이러한 방식으로 작동합니다. 곡선 공간에 대한 매우 일반적인 정의조차도 작은 평평한 공간 차트 (매니 폴드, Riemann 표면 등)를 구성하여 만들어졌습니다. 더욱이 자연은 대칭으로 가득 차 있고 대칭을 연구하는 것은 선형 연산자에 대한 연구에 변함이 없습니다.

이는 연산자 자체가 사실상 선형 인 경우에 추가됩니다.

우리가 컴퓨터 프로그램을 필요로하거나, 자연적으로 발생하는 현상과 직접적으로 또는 추상적으로 발생하는 많은 문제들이 있습니다. 아마도 선형 시스템을 연구 / 해결하는 것이 놀랄 일이 아닐까요?