증명 시스템 배후의 직관

나는 p-Optimal Proof Systems and Logic for PTIME 논문을 이해 하려고 노력하고 있습니다. 이 논문 에는 증명 시스템 이라는 개념 이 있으며 직관을 얻지 못했습니다.

$\Sigma = \{0,1\}$ ... 하위 집합의 문제를 식별합니다. $Q$ 에 $\Sigma^*$.

직감은 우리가 특정 구조를 인코딩한다는 것입니다. $\Sigma^*$ (예 : 무 방향 그래프) 및 이러한 구조의 부분 집합은 문제입니다 (예 : 평면 그래프).

방지 시스템 문제에 대한$Q \subset \Sigma^*$ 의심스러운 기능이다 $P:\Sigma^* \to Q$ 다항식 시간으로 계산할 수 있습니다.

이제 한 가지 가능성은 $\Sigma^*$특정 구조에서 가능한 모든 모델의 집합입니다 (예 : 모든 무 방향 그래프). 그러나 무 방향 그래프를 서브 세트에 매핑해야하는 이유는 무엇입니까? 그것은 튜링 기계로 인코딩 될 수 있지만 이것은 의미가 없습니다 ...

어떤 아이디어?

에 대해 생각하다 $\Sigma^{*}$ 어떤 종류의 객체를 인코딩하고 $Q$어떤 속성을 만족시키는 모든 객체의 집합으로. 에 대해 생각하다$P$ 한 쌍의 (인코딩)을 받아들이는 함수로서 $(x, p)$ 어디 $x$ 객체이며 $p$ "증거"라고 주장되는 $x \in Q$. 함수$P$ "확인 검사기"입니다. $p$ 실제로 유효한 증거를 나타냅니다 $x \in Q$. 그렇다면 반환$x$그렇지 않으면 기본 요소 인 $Q$.

예를 들어, $\Sigma^{*}$ 그래프를 인코딩하고 보자 $Q$해밀턴 그래프의 집합 (인코딩). 가능한$P$ 이것입니다 : 입력을 다음과 같이 디코딩하십시오 $(G, \ell)$ 어디 $G$ 그래프이며 $\ell$ 꼭짓점의 목록입니다 $G$; 확인$\ell$ 해밀턴 사이클입니다 $G$; 그렇다면 반환$G$ 그렇지 않으면 한 지점에서 그래프를 반환합니다.

평면 그래프의 경우를 고려했습니다. 적당한 것을 얻으려면$P$ 우리는 다중 시간 확인 가능한 평면성의 증거에 대한 개념이 필요합니다.

일반적으로 입력 $P$ 쌍을 인코딩 할 필요가 없습니다 $(x, p)$. 중요한 것은$P$ 입력에서 두 가지 정보를 추출 할 수 있습니다. 문제의 대상과 대상이 속하는 것으로 의심되는 증거 $Q$. 예를 들어,$Q$일부 1 차 이론에서 입증 될 수있는 모든 문장의 집합. 지금$P$입력을 공식적인 증거로 디코딩합니다. 인코딩이 유효하지 않으면$\top$. 인코딩이 유효한 증명을 나타내는 경우 증명에 의해 증명 된 명령문 (증거 공식화 방법에 따라 증명 트리의 루트 또는 일련의 명령문의 마지막 공식 일 가능성이 있음)을 리턴합니다.

증명 시스템의 입력을 생각해야합니다 $P$ 증거의 텍스트로 $\pi$ 요소의 $q \in Q$. 텍스트가 유효하면$P(\pi) = q$그렇지 않으면 $P(\pi)$ 일부 고정되어 있습니다 $q_0 \in Q$. 우리는 원한다$P$ 폴리 타임이기 때문에 증거를 쉽게 확인할 수 있습니다.

예를 들어, $Q$ 명제 론의 세트이며 $P$힐버트 스타일의 증명 시스템으로, 라인 세트로 구성되며 , 각각은 공리이거나 파생 규칙 (일반적으로 Modus Ponens)을 통해 이전 라인에서 따릅니다. 증명이 유효하면$P$증명의 마지막 줄을 출력해야합니다. 그렇지 않으면 다음과 같은 고정 타우 톨로지를 출력하십시오$p \lor \lnot p$.

첫 번째 질문으로 돌아가서 $Q$특정 속성을 만족하는 특정 유형의 모든 구조를 인코딩 한 것입니다. 한 가지 예는 긴장입니다. 또 다른 예는 Hajós 미적분학으로 알려진 증명 시스템을 가진 3 색이 아닌 모든 그래프 세트입니다.