NP- 완전한 내추럴에 자연스러운 문제가 있습니까?

30

모든 자연수는 비트 시퀀스로 간주 될 수 있으므로 자연수를 입력하는 것은 0-1 시퀀스를 입력하는 것과 동일하므로 자연 입력에 대한 NP- 완전 문제가 분명히 존재합니다. 그러나 자연적인 문제, 즉 숫자의 인코딩과 특수 해석을 사용하지 않는 문제가 있습니까? 예를 들어 "나는 소수입니까?" 그런 자연적인 문제이지만 이것은 P에 있습니다. 또는 "3, 5, n, n 크기의 힙으로 Nim 게임에서 누가 이겼습니까?" 내가 자연스럽게 생각하는 또 다른 문제이지만, 우리는 이것을 P로도 알고 있습니다. 또한 NP 대신 다른 복잡한 클래스에 관심이 있습니다.

업데이트 : 같이 주어진 에밀 예라 벡 지적 여부를 결정 원주민 통해 솔루션을 NP-완료된다. 이것은 입력이 단지 하나가 아닌 세 개의 숫자라는 것을 제외하고는 내가 자연스럽게 생각한 것입니다. $a,b,c\in \mathbb N,$ $ax^2+by-c=0$

업데이트 2 : 4 년 이상 기다린 후 Dan Brumleve는 "더 나은"솔루션을 제공했습니다. 무작위 감소로 인해 아직 완료되지 않았습니다.

— 도모토
소스

1

입력이 정수 n 인 NEXP 완료 타일링 문제를 알고 있으며 문제는 nxn 그리드의 유효한 타일링이 있는지 확인하는 것입니다. 그것이 당신에게 흥미 있다면, 나는 종이를 찾을 것입니다.

— Robin Kothari

2

@ Emil : domotorp의 의견은 내가 가진 혼란에 대한 반응이었습니다. 그러나 그것은 내 부분에 대한 오해이므로 의견을 삭제했습니다. 입력은 단일 자연수 여야하며 아무것도 인코딩해서는 안된다고 생각합니다.

— 로빈 코타 리

8

@domotorp : 내가 의미 한 NP- 완전 문제는

주어지면

에 솔루션

있는지 확인합니다 .

주어지면 다른 변형은

가 있는지 여부를 결정 하여

a, b, c \in N

$a,b,c\in\mathbb N$

a x^{2} + b y - c = 0

$ax^2+by-c=0$

x, y \in N

$x,y\in\mathbb N$

a, b, c

$a,b,c$

x \leq c

$x\le c$

. (결과는dx.doi.org/10.1145/800113.803627의 결과입니다.)

x^{2} \equiv a (\mod b)

$x^2\equiv a\pmod b$

— Emil Jeřábek은 Monica를 지원합니다.

3

왜이 질문에 대한 대답이 분명히 아니오가 아닙니까? 모든 NP-hard 문제에는 부울 회로를 "인코딩"하는 인스턴스가 있습니다. 논란의 여지가 있지만, 이것이 NP-hard라는 의미입니다!

— Jeffε

2

@domotorp : 아마도 또 다른 좋은 "자연적인"후보는 주어진 숫자

의 최소 가산 사슬을 찾는 문제 일 것입니다 :에서 최소 가산 체인 수에서 : "... 세트에 대한 최소 가산 사슬을 찾는 문제 의

번호 NP-완료됩니다. 가끔위한 최소한의 추가 체인 찾는 주장대로이 의미하는 것은 아니다

NP-완료됩니다. 그러나, 우리는 쉽게 번호를 모두 최소한의 추가 체인을 찾는 문제 있음을 추론 할 수

있다 NP-complete ... "

n

$n$

m

$m$

n

$n$

n

$n$

— Marzio De Biasi

17

이 문제 는 단일 정수 입력으로 변형되었습니다.

않습니다 두 개의 큰 소인수 사이에서 엄격하게 제수가? $n$

아이디어는 링크 된 질문 에 대한 최상위 답변 에 설명 된 부분 집합 합계에서 동일한 무작위 감소를 사용 하지만 대상 범위는 별도로 제공되지 않고 가장 큰 두 소수로 인코딩됩니다. 이 정의는 변장하는 단순한 페어링 기능이지만 자연스럽게 보입니다.

다음은 파티션 문제에서 비슷한 감소로 동일한 문제의 다른 변형입니다.

은 보다 작은 2 개의 정수의 곱 입니까? $n$ ? $n^{\frac{1}{4}}$

두 감소에서 우리는 근처의 소수를 찾아서 그들의 제품을 취함으로써 정수 세트를 "위장"합니다. 다항식 시간으로 그렇게 할 수 있다면 NP- 완전 문제입니다.

나는 Mahaney의 정리 와 함께이 예들을 살펴 보는 것이 좋을 것 같습니다. 만약 이고 근처의 소수를 찾을 수 있다면 ,이 세트는 희박하지 않습니다. 복잡성 이론에서 순수하게 산술적 진술을 얻는 것은 만족 스럽습니다 (비록 추측 적이며 다른 방법으로 쉽게 입증 될 수 있음에도 불구하고). $P \ne NP$

— 댄 브루 믈 레브
소스

'P ≠ NP이고 근처의 소수를 찾을 수 있다면'은 무엇을 의미합니까?

— T ....

1

@ao., 감소를 설명하는 Peter Shor의 답변을 참조하십시오 . 이 NP-완성되기 위해서는 우리는 주요 찾을 수 있어야

와를

시간

. 나중에이 모든 것에 대해 나 자신의 설명을하려고 노력할 것입니다.

p

$p$

| p - n | < n^{a}

$\vert p - n \vert \lt n^a$

O ((\log n)^{k})

$O((\log{n})^k)$

— Dan Brumleve

어떤 세트가 조밀하지 않습니까?

— T ....

33

토론을 바탕으로 답변으로 다시 게시하겠습니다.

에 의해 입증 된 바와 같이 은 Manders 및 Adleman의 다음 문제는 NP-완료 : 자연수에게 주어진 , 자연수가 존재하는지 여부를 결정 되도록 $a,b,c$ $x\le c$ . $x^2\equiv a\pmod b$

주어진 , 차 에 해 있는지 확인합니다 . $b,c\in\mathbb N$ $x^2+by-c=0$ $x,y\in\mathbb N$

(원본에는 의 문제가 나와 있지만, 줄일 수 있음을 알 수는 없습니다 .) $ax^2+by-c$ $a=1$

— Emil Jeřábek은 Monica를 지원합니다
소스

10

다음 은 입력으로 단일 자연수를 사용 하는 완전 문제입니다. $\text{NEXP}$

문제는 고정 된 타일 세트와 경계의 인접한 타일 및 타일에 대한 제약 조건으로 그리드를 타일링하는 것 입니다. 이 모든 것은 문제 사양의 일부입니다. 입력의 일부가 아닙니다. 입력은 숫자 $n \times n$ $n$ 입니다. 문제는 같이 바둑판 규칙의 일부 선택을위한 - 완전한 $\text{NEXP}$

D. Gottesman, S. Irani, "번역 불변 타일링 및 해밀턴 문제의 양자 및 고전적 복잡성"Proc. 50 번째 연례 증상. 컴퓨터 과학 기초, 95-104 (2009), DOI : 10.1109 / FOCS.2009.22 . 또한 arXiv : 0905.2419 .

문제는 arxiv 버전 5 페이지에 정의되어 있습니다.

또한 의 경계 오류 양자 아날로그 인 complete 와 유사한 문제를 정의합니다 . ( 의 기존 경계 오류 아날로그 는 입니다.) $\text{QMA}_\text{EXP}$ $\text{NEXP}$ $\text{NEXP}$ $\text{MA}_\text{EXP}$

— 로빈 코타 리
소스

3

+1은 있지만 번호 주장 조금 어렵다

그것이 특정한 튜링 기계 (상기 입력을 인코딩하기 때문에, "자연"방식으로 사용되고 튜링 기계 허용 IFF에 구체적 타일링 존재

,

는 IS

전위 입력 문자열의 열거는 번째). 여전히 매우 흥미로운 결과입니다.

n

$n$

x

$x$

x

$x$

n

$n$

— mjqxxxx

나는 mjqxxxx에 최대한 동의합니다.

— domotorp

2

나는 Kolmogorov의 복잡한 시간 제한 변형 중 하나를 사용하면 숫자의 이진 표현 만 사용하는 문제를 만들 수 있으며 (나는 생각하지 않는다) 있다고 생각하지 않습니다 . 비공식적으로는 문제의 decidable 버전 "입니다 $\mathsf{P}$ $n$ 압축 가능합니까?"라는 .

문제점 : 주어지면 튜링 머신 이 공백 테이프의 및 은 단계 미만으로 을 출력 합니다. 여기서 는 다음의 이진 표현 길이입니다. $n$ $M$ $|M| < l$ $M$ $n$ $l^2$ $l = \lceil \log{n} \rceil$ $n$

이 글은 분명히 부여하기 때문에, 과 , 단지 시뮬레이션 $\mathsf{NP}$ $n$ $M$ $M$ 에 대한 단계 및 경우가 정지하고는 비교 결과와 . $l^2$ $n$

— 마르 치오 데 비아시
소스

나는이 문제가 TM을 기반으로한다고 생각하지만 물론 선을 그리는 것은 불가능합니다.

— domotorp

domotorp의 의견을 수정하기 위해 문제 설명에서 튜링 기계의 개념을 전혀 불러야한다는 사실은 그것을``자연수에 대한 자연 문제 ''로 규정합니다. (우리는 자연수에 대한 ntaural 문제가 누구의 일반 형식 일치 될 일이라고 생각하는 경우 예를 들어, 페르마 너무 실적 인 수학의 역사를 상정하지 않고, 그것을 연구하는 데.)

— Niel 드 Beaudrap

2

우리 FOCS'17 용지 짧은 Presburger 산술적은 NP-C 인 "자연"문제의 예로서, 일정 수의 사용 $C$ 입력에 정수를 말한다 $C< 220$ . 제약 조건이 모두 불평등하다는 점에서 Manders-Adleman과 다릅니다. 일부 배경 은 Gil Kalai의 블로그 게시물 을 참조하십시오 .

— 이고르 박
소스

나는 이것이 Manders-Adleman보다 자연스러운 것이라고 생각합니다.

보다 작은 변수와

불평등 예가 가능합니까?

5

$5$

10

$10$

— T ....

아니요, 5 개의 변수가 가장 작습니다. 10-확실하지 않습니다. 그러나 당신은 실제로 6보다 작을 수 없습니다 ...

— Igor Pak

Is there a reason behind

\geq 5

$\geq5$ and

\geq 6

$\geq6$ ? I mean is it proven that all

\leq 4

$\leq4$ and finite number of inequalities is in

P

$P$ (likewise all

\leq 5

$\leq5$ variables and

\leq 5

$\leq5$ inequalities formulation is in

P

$P$ ?)?

— T....

Yes. For fewer variables the problem is in P.

— Igor Pak

2

Yes. It's all in our paper and Danny Nguyen's thesis. math.ucla.edu/~pak/papers/Nguyen-thesis.pdf

— Igor Pak

1

How about the PARTITION problem?

— Kevin A. Wortman
소스

3

No, as the input is not a number but a set.

— domotorp

1

따라서 인스턴스가 정확히 하나의 자연수 인 문제를 묻고 있습니까? "자연스런 입력 문제"를 요청하고 Nim 게임의 예에는 네 개의 숫자가 포함되어 있기 때문에 귀하의 질문에는 명확하지 않다고 생각합니다.

— Kevin A. Wortman

질문의 구성에 모호한 경우 죄송합니다.

— domotorp