노동 조합 폐쇄 계산

최대 1 개의 부분 집합 { 1 , 2 , … , n }으로 구성된 패밀리 가 주어 집니다. 연합 폐쇄 F는 다른 세트의 가정 인 C 1 개 이상의 세트의 조합을 고려하여 구성 될 수있는 모든 세트 함유 F를 . 작성자 | C | 우리는 C 의 집합 수를 나타냅니다 .$\mathcal F$$n$$\{ 1, 2, \dots, n \}$$\mathcal F$$\mathcal C$$\mathcal F$$|\mathcal C|$$\mathcal C$

노동 조합 폐쇄를 계산하는 가장 빠른 방법은 무엇입니까?

노조 폐쇄와 이분 그래프로 모든 최대 독립 세트를 나열하는 것과 동등한 것을 보여 주었으므로 노조 폐쇄의 크기를 결정하는 것은 # P- 완전하다는 것을 알고 있습니다.

그러나 n 개의 노드와 m 개의 모서리가 있는 그래프에 대해 시간에 모든 최대 독립 세트 (또는 최대 클릭)를 나열하는 방법이 있습니다. Tsukiyama et al. 1977. 그러나 이것은 이분 그래프에 특화된 것은 아닙니다.$O(|\mathcal C| \cdot nm)$$n$$m$

우리는 런타임과 이분 그래프에 대한 알고리즘을 주었다 http://www.ii.uib.no/~martinv/Papers/BooleanWidth_I.pdf$|\mathcal C| \cdot \log |\mathcal C| \cdot n^2$

우리의 방법은 의 어떤 요소도 C의 다른 요소 와 원래 세트 중 하나를 결합하여 만들 수 있다는 관찰에 근거 합니다. 따라서 C에 요소를 추가 할 때마다 n 개의 원래 세트 중 하나로 확장하려고 시도 합니다. 이 n 각각에 대해 ⋅ | C | 우리가 여전히 C 에 있는지 확인 해야하는 세트 . C 를 이진 검색 트리로 저장 하므로 각 조회에 로그가 필요합니다 | C | ⋅ n 시간$C$$C$$C$$n$$n \cdot |C|$$C$$C$$\log |C| \cdot n$

그것은 노조 폐쇄 찾을 수 있나요 에서 O를 ( | C | ⋅ N 2 ) 시간? 또는 시간 O ( | C | ⋅ n ) ?$\mathcal C$$O(|\mathcal C| \cdot n^2)$$O(|\mathcal C| \cdot n)$

그래프에서 최대 독립 집합을 열거하는 복잡성은 이분 그래프와 동일하므로 이분은 새로운 것을 가져 오지 않습니다.

$O(|C|\cdot n^2)$