해당하는 그래프하지 될 수 이유

이 질문 에 약간의 추론 을하면서 그래프 가 k 채색이 불가능한 모든 다른 이유를 식별하려고 노력했습니다 . 이것이 내가 지금까지 확인할 수 있었던 유일한 두 가지 이유입니다.$G = (V_G,E_G)$$k$

1. 는 k + 1 크기의 도가니를 포함합니다. 이것이 명백한 이유입니다.$G$$k+1$

2. G 의 하위 그래프 가 있으므로 다음 두 진술이 모두 참입니다.$H = (V_H, E_H)$$G$

   • 는 k - 1 착색 가능하지 않다.$H$$k-1$
   • . 다시 말해, G 에는 노드 x 가있지만 H 에는없습니다.따라서 x 는 H의 각 노드에 연결됩니다.$\exists x \in V_G - V_H\ \forall y \in V_H\ \{x,y\} \in E_G$$x$$G$$H$$x$$H$

위의 두 가지 이유를 규칙으로 볼 수 있습니다. 그것들을 재귀 적으로 적용함으로써 k + 1 도수가 포함되지 않은 가 아닌 색상 가능 그래프 를 만드는 유일한 방법 은 다음과 같습니다$k$$k+1$

1. 짝수 길이의 사이클 ( 채색 가능)에서 시작한 다음 k - 1에 대해 규칙 2를 적용하십시오 . 모서리는 길이 2 의 주기로 간주되지 않습니다 (그렇지 않으면이 프로세스는 k + 1 도수 를 만드는 효과가 있습니다 ).$2$$k-1$$2$$k+1$
2. 홀수 길이의 사이클 ( 채색 가능)에서 시작한 다음 k - 2에 대해 규칙 2를 적용하십시오 . 시작 사이클의 길이는 3 보다 커야합니다 (그렇지 않으면이 프로세스는 k + 1 도당 을 만드는 효과가 있습니다 ).$3$$k-2$$3$$k+1$

의문

위의 2 이외의 다른 이유로 그래프를 색으로 만들 수없는 이유가 있습니까?$k$

$\ $
2012 년 11 월 30 일 업데이트

더 정확하게 말하면, 내가 필요한 것은 다음 형식의 정리입니다.

그래프 는 다음 과 같은 경우에만 색수 χ ( G ) = k + 1을 갖습니다 .$G$$\chi(G) = k + 1$

하요 미적분학 그의 대답에 Yuval 교수 Filmus 지적은의 완벽한 예입니다 그래프로 내가 무엇을 찾고, 반음계 수있다 χ ( G를 ) = K + 1 은 공리에서 파생 될 수있는 경우에만 경우 K의 K 미적분의 두 가지 유추 규칙을 반복적으로 적용하여 + 1 입니다. 하요 번호 (H) ( G는 ) 후 유도하기 위해 필요한 단계의 최소 개수 G를 (즉, 그 최단 증거의 길이이다).$G$$\chi(G) = k + 1$$K_{k+1}$$h(G)$$G$

매우 흥미 롭습니다 :

• 그래프가 존재하는지 여부의 질문 그 H ( G은 ) 의 크기가 지수 함수 G가 열려있다.$G$$h(G)$$G$
• 이러한 가 존재하지 않으면 N P = c o N P 입니다.$G$$NP = coNP$

$k$$k$$k$$K_k$

일반화 할 수있는 멋진 "이유"를 모르는 다음 부분 그래프는 다음과 같은 그래프입니다 ( 여기 에서 뻔뻔한 닉 ).

$K_{4}$

나는 어떤 특정 속에 대해 규칙 1 또는 2를 따르지 않는 특정 최소 색도 ( Heawood 추측 참조)의 그래프가 있다고 의심합니다 . 물론 직관 이외의 증거는 없습니다.

Lovasz는 k-colorability에 대한 위상 적 장애물을 발견하고 그의 이론을 사용하여 Knaser의 추측을 해결했습니다. 그의 정리는 다음과 같습니다. G를 연결된 그래프라고하고, N (G)는면이 공통 이웃을 갖는 V의 부분 집합 인 단순한 복합물이라고하자. 그런 다음 N (K)가 k- 연결된 경우 (즉, 모든 감소 된 상 동성 그룹은 0부터 최대 치수 k-1까지) G를 착색하는 데 필요한 색상의 수는 k + 3 이상입니다.

큰 독립 세트를 갖지 않는 것은 큰 도당을 갖는 것만 큼 중요 할 수 있습니다.

그래프를 k- 색으로 표현할 수 없도록하는 중요한 장애물은 독립 집합의 최대 크기가 n / k보다 작다는 것입니다. 여기서 n은 꼭짓점의 수입니다. 이것은 매우 중요한 암시입니다. 예를 들어, G (n, 1 / 2)의 랜덤 그래프는 적어도 n / log n의 색수를 가짐을 의미합니다.

정점에 대해 음이 아닌 가중치를 할당 할 때마다 총 가중치의 1/5 (또는 그 이상)를 차지하는 독립적 인 세트가 없다는 것이 더 정교한 방해입니다. 여기에는 "클리어 방해물 없음"도 포함됩니다. LP- 이중성은이 장애물이 k의 "분획 색도"가 k보다 큰 것과 같다는 것을 알려줍니다.

때로는 소수의 색수 장벽을 넘어서는 다른 성질의 k- 색도에 대한 장애물도 있습니다. 나는 그들에게 별도의 답변을 할 것입니다.

$G$$\chi(G)=k+1$

$G$$\chi(G)\ge k$$G$$k-1$