성공 확률이 높은 Grover 알고리즘의 최적 성

함수의 경계 오류 양자 쿼리 복잡도 가 인 것으로 잘 알려져 있습니다. 이제 문제는 양자 알고리즘 이 일반적인 보다는 확률로 모든 입력에 대해 성공하기를 원하는 경우 입니다. 이제 관점 에서 적절한 상한과 하한은 무엇입니까?$OR(x_1,x_2,\ldots, x_n)$$\Theta(\sqrt{n})$$1-\epsilon$$2/3$$\epsilon$

즉각 $O(\sqrt{n} \log(1/\epsilon))$쿼리는 Grover 알고리즘을 반복하여이 작업에 충분합니다. 그러나 내가 기억하는 것은 신중하게 실행하는 경우, 즉 적절한 반복 횟수에 대해 일반 Grover 알고리즘조차도 최적의 것은 아닙니다.$\epsilon=O(1/n)$ 그냥 $O(\sqrt{n})$반복. 따라서 그 중 하나를 사용하면 모든 사람을 향상시킬 수 있습니다$\epsilon$'에스. 반면에, 나는 그것을 기대하지 않습니다$\Omega(\sqrt{n})$ 아주 작은 것에 대한 정답이다 $\epsilon$'에스.

그러나 나는 무엇을 보여줄 수 있는지에 관심이 있습니다. $\epsilon$다양한 범위에 대한 종속 상한 및 하한 $\epsilon$ 특히 $\epsilon$ 아주 작습니다 $\epsilon= \exp(-\Omega(n))$ 또는 $\epsilon=1/n^k$ 큰 $k$'에스.

(어떤 맥락을 제시하기 위해 내가 얻는 일반적인 현상은 양자 쿼리 복잡성의 맥락에서 증폭입니다.)

완전성을 기하기 위해 여기에 답이 있습니다.

허락하다 $Q_\epsilon(f)$ ~을 나타내 다 $\epsilon$함수 계산의 오류 양자 질의 복잡성 $f$ 과 $\mathsf{OR}_n$ OR 기능이다 $n$ 비트로 정의 $\mathsf{OR}_n(x_1,\ldots,x_n)=\bigvee_{i=1}^n x_i$. (이것은 입력에 정확히 1이 있고 1을 찾는 것이 목적인 문제와 다릅니다.이 문제는 오류없이 해결할 수 있습니다$\Theta(\sqrt{n})$ 쿼리).

그럼 우리는 모두를 위해 $\epsilon \in [2^{-n},1/3]$,

$Q_\epsilon(\mathsf{OR}_n) = \Theta(\sqrt{n\log(1/\epsilon)})$.

이것은 작은 오류 및 제로 오류 양자 알고리즘에 대한 경계입니다 .

사실, 우리는 더 일반적인 것을 알고 있습니다. 모든 대칭 기능$f$입력의 해밍 가중치에만 의존하는 함수 인 $\epsilon \in [2^{-n},1/3]$,

$Q_\epsilon(f) = \Theta(Q_{1/3}(f)+\sqrt{n\log(1/\epsilon)})$.

이것은 양자 알고리즘과 대칭 함수에 대한 최소 엡실론 오류 다항식에 대한 참고 사항에 나와 있습니다 .