괴델의 불완전 성 정리와 교회 튜링 이론의 관계

이것은 순진한 질문 일지 모르지만 여기에갑니다. (편집-공감을 얻지 못했지만 아무도 대답을 제공하지 않았습니다. 아마 생각보다 어렵거나 모호하거나 불명확 한 질문일까요?)

Gödel의 첫 번째 불완전 성 정리는 중지 문제의 결정 불가능성에 대한 증거로 입증 될 수 있습니다 (예 : Sipser Ch. 6; Scott Aaronson의 블로그 게시물 ).

내가 이해 한 것 (의견으로 확인)으로부터이 증거는 교회 튜링 논문에 의존 하지 않는다 . 우리는 완전하고 일관된 공식 시스템에서 튜링 머신이 정지 문제를 해결할 수 있음을 보여줌으로써 모순을 도출합니다. (반면에 어떤 효과적인 절차 가 중단 문제를 결정할 수 있음을 보여준 경우 모순을 얻기 위해 교회-투어링 논문을 가정해야합니다.)

따라서 우리는이 결과가 튜링 머신의 한계가 보편적 인 한계를 암시한다는 것을 보여주기 때문에 교회 튜링 논문에 대해 약간의 직관적 지원을 제공한다고 말할 수 있습니다. (Aaronson의 블로그 게시물은 확실히이 견해를 지원합니다.)

저의 질문은 우리가 거꾸로 나아가서 더 구체적인 것을 얻을 수 있는지에 대한 것입니다. 고델의 이론은 교회-투어링 논문에 어떤 공식적인 영향을 미칩니 까? 예를 들어, 첫 번째 불완전 성 정리는 임의의 Turing Machine이 정지하는지 여부를 확인할 수있는 효과적인 절차가 없음을 직관적으로 암시 할 수 있습니다. 이러한 절차가 존재한다는 것은 완전한 일관성 이론 을 구성 할 수있는 능력을 의미한다는 추론이 될 수있다 . 이 올바른지? 이 라인을 따라 결과가 있습니까?$\omega$

(나는 호기심을 묻고있다-나는 스스로 논리를 연구하지 않는다.) 이것이 잘 알려져 있거나 연구 수준이 아닌지 사과한다. !)

소리 관련,하지만 그 질문은되지 않습니다 : 교회의 정리와 괴델의 불완전 성 정리 (theorem)

편집 : 질문을보다 명확하게하려고 노력할 것입니다! 첫째, 저의 순진한 직감은 괴델의 불완전 성이 적어도 계산 가능하거나 불가능한 것에 대한 제한을 암시해야한다는 것입니다. 이러한 제한은 무조건적입니다. 즉 , Turing Machines가 아닌 모든 계산 모델에 적용되어야합니다 .

그래서 이것이 사실인지 궁금합니다. ( 어떤 의미 가 있어야 합니까?) 그것이 튜링 머신 (Turing Machine)에 의해 효과적으로 계산 될 수 있다는 개념 인 교회 튜링 이론에 어떤 영향을 미치는지 궁금합니다. 예를 들어, 튜링 머신의 정지 여부를 결정하기위한 효과적인 절차가 제 1 불완전 성 정리와 모순 될 수 있습니다. 이 결과는 가능한 계산 방법이 Turing Machines보다 "훨씬"강력 할 수 없음을 보여줍니다. 그러나이 결과가 사실입니까? 의견에 몇 가지 비슷한 질문이 있습니다. 이러한 질문 중 하나에 대한 답변, 문헌에 대한 답변에 대한 포인터, 내 전체 추론이 기본이 아닌 이유에 대한 설명 또는 기타 의견을 듣고 싶습니다.

여기 당신을 즐겁게 할 수있는 철학적 답변이 있습니다.

괴델의 불완전 성 이론은 공식적인 Peano 산술 시스템에 관한 것입니다. 따라서 그들은 최소한의 해석이 없다면 계산 모델에 대해서는 아무 말도하지 않습니다.

Peano 산술은 계산 불가능한 기능의 존재를 쉽게 보여줍니다. 예를 들어, 튜링 머신에 대해 이야기 할만큼 충분히 표현할 수있는 고전적인 이론으로서, 모든 튜링 머신이 영원히 멈추거나 작동한다고 말하는 제외 된 중간의 특정 사례를 보여줍니다. 그럼에도 불구하고, 고델 (Gödel)의 연구에서 중요한 계산 개념, 즉 (원시) 재귀 함수 개념이 발생했다 . 따라서 계산 성에 연결되는 것은 이론 자체가 아니라 그것들을 확립하는 증명 방법 입니다.

불완전 성 정리의 요점은 확률 논리를 사용하여 추상적 인 형태로 표현 될 수 있습니다.일종의 모달 로직입니다. 이것은 불완전 성 정리에 Peano 산술 및 계산 능력을 넘어 광범위한 적용 가능성을 제공합니다. 특정 고정 소수점 원칙이 충족 되 자마자 불완전 성이 시작됩니다.이 고정 소수점 원칙은 전통적인 계산 이론에 의해 충족되므로 불완전성에 빠지게되므로 필연적으로 분리 할 수없는 ce 세트가 존재합니다. Peano 산술의 입증 가능하고 반박 가능한 문장은 분리 할 수없는 ce 세트를 형성하기 때문에, 전통적인 Gödel의 불완전 성 이론은 불완전 성 계산의 계산에있어 관례로 볼 수 있습니다. (저는 철학적으로 모호하며 수학자로서 저를 이해하려고하면 머리가 아플 것입니다.)

나는이 모든 것이 비공식적 인 효과 성 개념 ( "실제로 계산 될 수있는 것들")과 어떤 관련이 있는지에 대해 두 가지 입장을 취할 수 있다고 가정 한다.

1. 우리 모두가 아는 한, 우리는 무한한 숫자로 계산할 수있는 "튜링 머신"이라는 가상의 슈퍼 히어로를 생각할 수있는 다소 큰 유한 오토 마톤입니다. 이 경우 고델은 아주 좋은 이야기꾼이었습니다. 그의 이야기가 효과로 해석되는 방법은 상상력을 현실에 적용하는 (필요하게 부정확 한) 문제입니다.

2. 불완전 성 현상은 많은 상황에서 자연스럽게 발생하며, 모든 합리적인 계산 가능성 개념에서 자연스럽게 발생하기 때문에, 효과의 경우도 마찬가지라고 결론을 내립니다. 예를 들어, Joel Joelkin의 무한 시간 튜링 머신 을 계산하기 위해 튜링 머신을 블랙홀로 보낼 수 있다고 가정 합니다 . 이것은 우리에게 정지 오라클이 유치원 장난감 인 엄청난 계산 능력을 제공합니다. 그러나 여전히 모델은 우리가 불가분의 세트의 존재를 보여줄 수있는 기본 조건을 충족시킵니다. 따라서 다시 한번, 계산은 완전히 강력하지 않으며 불완전 성은 인생의 사실입니다.

나는 멈춤의 결정 불가와 고델의 불완전 성 정리를위한 주요 도구 는 다음과 같은 Neel의 의견 을 강조하고 싶다 .

1. 증명, 계산 등과 같은 구문 개념을 숫자 / 문자열 및 그에 대한 관계 / 함수로 인코딩;
2. 고델의 고정 소수 정리.

오늘날 우리가 디지털 컴퓨터에 익숙하다는 것은 구문 객체와 개념의 인코딩이 명백해 보이지만 보편적 인 컴퓨터와 소프트웨어에 필수적인 독창적 인 아이디어입니다. 범용 시뮬레이터의 존재를 증명하는 데 필요한 모든 것이 그의 논문에 있습니다.

Godel은 또한 간단한 산술 공식으로 이러한 구문 개념과 일반적으로 TM 계산 관계 / 함수를 나타낼 수 있음을 보여줍니다.

고델의 불완전한 증거는 다음과 같습니다.

$T$

1. $Provable_T(x)$$T$$x$$T$
2. $G$$\lnot Provable(x)$$T \vdash G \leftrightarrow \lnot Provable_T(\ulcorner G \urcorner)$

TM에 대한 정지 문제의 결정 불가능 성은 유사한 성분을 사용합니다.

1. $Halt(x)$$x$
2. $N$$N$$\lnot Halt(\langle M \rangle)$

$Halt(x)$$T$$T$$T$$T$

$T$$T$$T$

증명은 매우 유사하고 동일한 성분을 사용합니다 (TM에 더 익숙하지만 논리에 익숙하지 않은 사람에게는 정지 문제의 결정 불가능한 것이 더 단순 해 보일 수 있습니다. 결정 불가능한 증거에 사용되는 고정 소수점 정리의 특정 인스턴스는 Godel의 정리에서 사용되는 고정 소수점의 특정 사례는 본질적으로 동일하지만 필수 아이디어는 숫자 / 문자열 및 수식 / 함수를 사용하여 구문 객체와 개념을 인코딩하고 고정 소수점 정리를 적용하는 것입니다).

$O$$O$$P_O(x)$$O$$O$

추신 :
Godel의 이론은 1931 년에 출판되었고 Turing의 결정 불가능 성은 1936 년에 출판되었다. Godel의 논문이 출판 될 당시 TM은 정의되지 않았고 Godel은 다른 동등한 모델을 사용하고 있었다. IIRC, Godel은 자신이 사용한 계산 모델이 알고리즘 계산의 직관적 인 개념을 실제로 포착했다는 것을 확신하지 못했기 때문에 그의 결과에 완전히 만족하지 못했습니다. 알고리즘 계산의 직관적 개념. Godel의 수집 작품에서 이것에 대해 더 많이 읽을 수 있다고 생각합니다.