0-1 선형 프로그래밍 : 최적 공식 계산

고려 차원 공간 및하자 형태의 선형 제약 될 여기서 , 및 . $n$ $\{0,1\}^n$ $c$ $a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 +\ ...\ + a_{n-1}x_{n-1} + a_nx_n \geq k$ $a_i \in \mathbb{R}$ $x_i \in \{0,1\}$ $k \in \mathbb{R}$

분명히 $c$ 는 두 개의 서브 세트 및 에서 을 분리하는 효과가 있습니다. 모두 만족스러운 점만을 포함 반면 모든 위조 및들만 포함 점 . $\{0,1\}^n$ $S_c$ $S_{\lnot c}$ $S_c$ $c$ $S_{\lnot c}$ $c$

가정이 $|S_c| \geq n$ . 이제 $O$ 는 의 부분 집합으로 $S_c$ 다음 세 문장이 모두 유지 되도록 하자 .

$O$ 는 정확히 $n$ 점을 포함합니다 .
이러한 $n$ 점은 선형 적으로 독립적입니다.
이러한 $n$ 포인트는 표시되는 초평면으로부터 최소 거리에있는 포인트 $c$ 입니다. 보다 정확하게, 하이퍼 플레인 에서 $d( x, c )$ 점 의 거리로 둡니다 . 그리고, 되도록 만족 1 및 2는 경우가 있음 . 다시 말해, 는 조건 1과 조건 2를 모두 만족하는 모든 부분 집합 중에서 초평면 로부터 점의 거리의 합을 최소화하는 것이다 . $x \in \{0,1\}^n$ $c$ $\forall B \subseteq S_c$ $B$ $\sum_{x \in B} d(x, c) \geq \sum_{x \in O} d(x, c)$ $O$ $S_c$ $c$

질문

가 주어지면 효율적 으로 계산할 수 있습니까? $c$ $O$

그것을 계산하는 가장 잘 알려진 알고리즘은 무엇입니까?

$\$

예 $n = 3$

n = 3 인 예

$S_{\lnot c} = \{ ( 1, 0, 1 ) \}$ , . $O = \{ ( 0, 0, 1 ), ( 1, 1, 1 ), ( 1, 0, 0 ) \}$

$\$

2012 년 5 월 12 일 업데이트

자극

동기 부여는 를 사용 하면 최적의 제약 조건 를 결정할 수 있어야하며, 이는 의 점으로 정의 된 초평면이어야하기 때문 입니다. $O$ $c^*$ $n$ $O$

최적 구속 조건 는 최적 폴리 토프 연결되는 구속 조건 입니다. $c^*$ $P^*$

최적의 폴리 토프 는 정점이 전부이고 초기 폴리 토프 의 정수 정점 만있는 것입니다 (정수 정점은 좌표가 모두 정수인 정점입니다). $P^*$ $P$

최적의 제형

프로세스는 0-1 인스턴스 의 각 제약 조건 에 대해 반복 될 수 있으며 , 매번 를 해당 최적 제약 조건 대체 합니다. 결국, 이것은 최적의 폴리 토프를 초래할 것이다 의 . 그런 다음 정점 이 의 초기 폴리 토프 의 정수 정점 이므로 모든 알고리즘 을 사용하여 최적의 정수 솔루션을 계산할 수 있습니다. 효율적 으로 계산할 수 있다는 것은 의미 하지만 다음과 같은 추가 질문은 여전히 유효합니다. $c$ $LP$ $I$ $c$ $c^*$ $P^*$ $I$ $P^*$ $P$ $I$ $LP$ $P^*$ $P = NP$

추가 질문

이 라인을 따라 이전 작업이 있습니까? polytope 주어진 최적의 polytope 감안할 때 이미 컴퓨팅 작업을 조사한 사람이 있습니까? 가장 잘 알려진 알고리즘은 무엇입니까? $P$ $P^*$

— 조르지오 카메라 니
소스

서브 세트 합계를 줄이면 정확하게하기 어려운 NP 인 것처럼 보입니다. 감안 이진 정수

서브 세트 합산에 존재 하는지를 테스트하기 위해

, 우리는 초평면의상의 포인트가 있는지를 테스트 할 수있다

. 근사치에 관심이 있습니까?

v_{1}, \dots, v_{n}

$v_1,\dots,v_n$

s

$s$

v_{1} x_{1} + \dots + v_{1} x_{n} = s

$v_1x_1+\dots+v_1x_n= s$

— Colin McQuillan

@ ColinMcQuillan : 질문은 정확한 해결책을위한 것이지만 근사치에도 관심이 있습니다. 의견을 답변으로 바꾸지 않겠습니까?

— Giorgio Camerani

@ColinMcQuillan : 또한 초평면은 평등을 사용하여 정의되고 내 평면은 불평등을 사용하여 정의됩니다. 이것이 경도면에서 차이가 없습니까? 아직 확인하지 않았으므로 그냥 묻습니다.

— Giorgio Camerani

나는

에 대한 모든 제한에 대해 약간 혼란 스럽습니다 . 당신의 볼록 선체에 대한 정보를 찾고 있다면

다음 작업의 결과가 많이 0-1 배낭 폴리 토프에 대한 문헌 연구가있다. 근사 공식의 관점에서 이것을 참조하십시오 .

O

$O$

S_{c}

$S_c$

— 오스틴 뷰캐넌

답변:

서브 세트 합계를 줄이면 정확하게하기 어려운 NP 인 것처럼 보입니다. 를 계산하는 효율적인 절차가 있다고 가정합니다 . 양의 정수 이 이진수로 인코딩 된 경우 합산되는 부분 집합이 있는지 테스트하려고합니다 . 보다 큰 정수를 버려 전처리합니다 . $O$ $v_1,\dots,v_n$ $s$ $s$

최소 조건을 충족시키는 를 만족시키는 작은 세트 의 점 를 얻으려면 프로 시저를 호출하십시오 (전처리는 보장합니다 ). 이 세트에는 확실히 하이퍼 플레인 점이있을 것입니다. $O$ $v_1x_1+\dots+v_1x_n\leq s$ $|S_c|\geq n$ $v_1x_1+\dots+v_1x_n= s$

— 콜린 맥퀸
소스

어쩌면 내가 여기서 뭔가 거시적 내려다 보이는 해요,하지만 난이 질문 : 1) 당신이 말하는 "주어 진 정수" 당신이로 뜻 어떤 바이너리를 ?

에 속하는

. 아마도 바이너리로 인코딩 된 것을 의미합니까? 아니면 긍정적으로 말하고 싶습니까? 2) 왜

보다 큰 정수를 모두 버리는가 ? 솔루션에 기여할 수 있습니다. 예를 들어 :

v_{1}, . . ., v_{n}

$v_1, ..., v_n$

R

$\mathbb{R}$

s

$s$

멀리 던져

당신이 유일한 해결책 잃을

v_{1} = - 3, v_{2} = 7, v_{3} = - 5, s = 2

$v_1 = -3, v_2 = 7, v_3 = -5, s = 2$

v_{2}

$v_2$

{v_{2}, v_{3}}

$\{v_2, v_3\}$

— Giorgio Camerani

나는 콜린 수단이 무엇인지 생각 하면 제약 계수

합리적인 평소의 이진 표현의 숫자입니다 다음 NP-하드로 문제가 나타납니다이. (실수와 NP- 경도의 혼합은 항상 까다 롭습니다.)

a_{i}

$a_i$

— Jeffε

@GiorgioCamerani : 긍정적 인 답변이 필요했습니다.-답변을 업데이트했습니다.

— Colin McQuillan

IP의 볼록 껍질에 도달하려고하는 것 같습니다. 본질적으로 이것이 컷 알고리즘이 달성하려고하는 것입니다. 비록이 방법들이 매력적으로 호소하기는하지만 실제로는 운이 좋지 않습니다.

유효한 불평등의 발생에 관한 모든 이론이 있습니다. 좋은 출발점은 shrijver의 정수 프로그래밍 이론이 될 것입니다.

— AJ 학생
소스