하위 초등 재귀 함수에 대한 복잡성 결과?

Elementary-recursive 함수에 대한 Chris Pressey의 흥미로운 질문에 흥미를 느끼 면서 웹에서 더 많은 질문을하고 답을 찾을 수 없었습니다.

기본 재귀 함수는 지수 계층 좋게 대응 $\text{DTIME}(2^n) \cup \text{DTIME}(2^{2^n}) \cup \cdots$ .

더 낮은 기본 기능에 의한 결정 문제 (단어?)가 EXP 및 실제로 DTIME에 포함되어야한다는 정의에서 간단 해 보입니다. $(2^{O(n)})$ ; 이 함수는 또한 입력 길이가 선형 인 출력 문자열 [1]로 제한됩니다.

그러나 다른 한편으로는 명백한 하한을 보지 못합니다. 언뜻보기에 LOWER-ELEMENTARY가 NP를 엄격하게 포함하거나 P에 일부 문제가 포함되지 않았거나 아마도 내가 상상하지 못했을 가능성이 가장 높은 것으로 생각됩니다. LOWER-ELEMENTARY = NP 인 경우 서사적으로 시원 할 것입니다.

그래서 내 질문 :

내 이해가 지금까지 정확합니까?
하위 기본 재귀 함수를 묶는 복잡성 클래스에 대해 알려진 것은 무엇입니까?
(보너스) 재귀 함수에 대한 추가 제한을 만들 때 멋진 복잡한 클래스 특성이 있습니까? 나는 특히 $\log(x)$ -다항식 시간에 실행되고 선형 출력을 생성한다고 생각되는 경계 요약. 또는 다항식 시간으로 실행하고 최대 길이의 출력을 생성한다고 생각하는 상수 제한 합계 $n + O(1)$ .

[1] : 우리는 하위 기초 기능이 구조적 유도에 의해 이러한 제한을 받는다는 것을 보여줄 수있다. $h,g_1,\dots,g_m$ 복잡하다 $2^{O(n)}$ 비트 길이의 출력 $O(n)$ 길이의 입력에 $n$ . 언제 $f(x) = h(g_1(x),\dots,g_m(x))$ ,시키는 $n := \log x$ 각각 $g$ 길이 출력 $O(n)$ 그래서 $h$ 있다 $O(n)$ 길이 입력 (따라서 $O(n)$ 길이 출력); 모든 컴퓨팅의 복잡성 $g$ s는 $m2^{O(n)}$ 그리고 $h$ 이다 $2^{O(n)}$ 그래서 $f$ 복잡하다 $2^{O(n)}$ 길이의 출력 $O(n)$ 주장대로.

언제 $f(x) = \sum_{i=1}^x g(x)$ , $g$ s는 출력 길이가 있습니다 $O(n)$ 따라서 출력 합계의 값은 $2^n 2^{O(n)} \in 2^{O(n)}$ 따라서 합의 길이는 $O(n)$ . 이러한 값을 합산하는 복잡성은 $2^n$ (합산 횟수) 회 $O(n)$ (각 추가의 복잡성) $2^{O(n)}$ 출력 계산의 복잡성은 $2^{n}$ (계산 횟수) 배 $2^{O(n)}$ (각각의 복잡성) $2^{O(n)}$ . 그래서 $f$ 복잡하다 $2^{O(n)}$ 길이의 출력 $O(n)$ 주장대로.

— usul
소스

Wikipedia 기사는 기본 요소가 낮은 함수에 다항식 성장이 있다고 언급하지만 (참조는 제공하지 않음) 기본 함수로 P- 완전 문제를 해결할 수 있거나 해결할 수 없음을 보여주는 것이 한 단계 더 나아가 야하는 좋은 단계입니다. n 단계 동안 튜링 머신을 시뮬레이션하는 것은 불가능한 것처럼 보이지 않습니다. 각 상태 전이에 해당하는 다른 경계 합계의 단계 수에 해당하는 경계 합계?

— Chris Pressey

@Chris-제 생각에는 "다항식 성장"은 출력의 비트 수가 입력의 비트 수에서 선형이 아닌 것을 의미합니다. 나는 시뮬레이션이 매우 그럴듯 해 보이고 다항식 시간에 가능해 보인다는 것에 동의한다.

— usul

죄송합니다. 첫 번째 부분은 명확하지 않지만 값 입력시

x

$x$ 출력은 최대 다항식의 값을 갖습니다.

x

$x$ .

— usul December

질문 3과 관련하여 변형에서 정의 할 수있는 기능

\log (x)

$\log(x)$ 바운드 합산은 모두 복잡성 클래스 유니폼에 있습니다.

{T C}^{0}

$\mathsf{TC}^0$ . 일정한 경계의 합으로 균일 한 하위 클래스를 얻습니다.

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$ .

— Jan Johannsen

@ Xoff 나는 그것이 모두 요약에 있다고 믿는다 : 우리는

1

$1$ 에

x

$x$ 여기서 (의 입력에

n

$n$ 비트)

x

$x$ 크기를 가질 수 있습니다

2^{n}

$2^n$ 그래서 우리의 합은

2^{n}

$2^n$ 각 소환의 크기를 곱한 것입니다.

— usul

(보너스) 질문 3과 관련하여 변형에서 정의 할 수있는 기능 $\log(x)$ 바운드 합산은 모두 복잡성 클래스 유니폼에 있습니다. $\mathsf{TC}^0$ . 이것은 찬드라 (Chandra), 스탁 마이어 (Stockmeyer) 및 비슈 킨 (Vishkin) "일정한 깊이 감소", SIAM J. Comput. 13 (1984) 의 합은 $n$ ~의 수 $n$ 비트 각각은 다수의 게이트를 갖는 poynomial 크기의 일정한 깊이 회로에 의해 계산 될 수있다.

일정한 경계의 합으로 균일 한 하위 클래스를 얻습니다. $\mathsf{AC}^0$ . 일정한 경계 합산은 가산 및 합성으로 감소 될 수 있으며, 캐리-룩어 헤드 방법을 사용하여 일정한 깊이의 부울 회로에 의해 가산이 계산 될 수있다.

— 얀 요한센
소스

"낮은 기본 기능이 EXP에 있습니다 "가 정확합니다. 그것들은 실제로 DPSPACE ( n )에 있습니다; 예를 들어 구조적 유도에서 볼 수 있습니다.
부울 만족도 SAT는 Grzegorczyk 계층 의 최하위 레벨 E ₀ 에 있으며, 경계 합산 대신 경계 재귀 가 있음을 보여줍니다 [1] .

[1] Cristian Grozea : NP는 Grzegorczyck (sic!) 계층의 가장 약한 수준에서 계산 가능한 술어입니다. 오토마타 저널, 언어 및 조합기 9 (2/3) : 269-279 (2004).

기본적인 아이디어는 길이 이진 주어진 식을 인코딩하는 N 은 정수로 N 대략적으로 지수 값 N ; 그런 다음 ( n이 아닌) 상기 N에 의해 한정된 정량화 측면에서 만족스러운 할당의 존재를 표현한다 .

이 방법은 E ₀ 에서 하위 초등학교 로 이월되는 것으로 보인다
(그리고 임의이지만 고정 된 k에 대해 SAT에서 QBF _k 로 일반화 함 ).

그러나 polytime 계산이 E ₂ 를 떠나는 것으로 알려져 있기 때문에 NP (또는 그 문제에 대해 P) 를 포함 한다는 것은 E ₀ 을 암시하지 않습니다 .

— 마틴 지글러
소스