Cai-Furer-Immerman 가제트의 이형

WL (Weisfeiler-Lehman) 방법을 통한 그래프 동형화에 대한 유명한 카운터 예제에서 Cai, Furer 및 Immerman 이이 논문 에서 다음 가젯을 구성했습니다 . 그들은 에 의해 주어진 그래프를 구성합니다.$X_k = (V_k, E_k)$

$V_k = A_k \cup B_k \cup M_k \\ \text{ where } \\ \quad A_k = \{a_i \mid 1 \leq i \leq k\}, \\ \quad B_k =\{b_i \mid 1 \leq i \leq k\}, \mbox{ and } \\ \quad M_k = \{ m_S \mid S \subseteq \{1,2,\ldots, k\},\ |S| \text{ is even} \}\\ E_k =\{(m_S,a_i) \mid i \in S\} \cup \{(m_S, b_i)\mid i \notin S\}$

본 논문의 정리 중 하나 (부정 3.1 페이지 6)에 정점 와 를 색상 로 채색 하면 (색상은 자동 형성에 의해 유지되어야 함) 여기서 각 자동 형성은 카디널리티 의 의 일부 하위 집합 에서 각 에 대한 및 교환에 해당합니다. . 그들은 증거가 즉각적이라고 말합니다. 그러나 경우에도 어떻게 보지 못합니다 . 에서는 의 에지는 않지만 우리는 동형이 경우 교류는 및$a_i$$b_i$$i$$|Aut(X_k)| = 2^{k-1}$$a_i$$b_i$$i$$S$$\{1,2,\ldots, k\}$$k= 2$$X_2 \ (a_1, m_{\{1,2\}})$$a_1, b_1$$a_2, b_2$위의 가장자리는 가장자리가 아닌 변환됩니다 . 그래서 그것은 다형성이되어서는 안됩니다.$(b_1, m_{\{1,2\}})$

내 오해가 무엇인지 이해하고 싶습니다.

모든 연결된 emptyset 이 누락되었습니다 . 자동 형태를 얻으려면 짝수 카디널리티 의 하위 집합 를 선택한 다음 각 에 대해 를 로 중간에서 세트를 조정합니다. 귀하의 예에서 그래프는$\emptyset$$b$$T\subseteq \{1,...,k\}$$a_i$$b_i$$i\in T$

여전히 귀하의 예에서 이면 아무것도 할 필요가 없으며 경우 을 , 를 및 와 automorphism이 나타납니다. .$T=\emptyset$$T=\{1,2\}$$a_1$$b_1$$a_2$$b_2$$\{1,2\}$$\emptyset$

이제 일반적인 경우에는 항상 정점을 조정하는 방법이 있음을 보여 주어야합니다. 우리는 가 심지어 카디널리티를 가지고 있음을 알고 있습니다. 이라고하자 . 경우 이러한 자기 변형이 존재한다는 것을 보여 주어야합니다. 그렇지 않으면 를 크기 서브 세트 로 분할하는 것에 대응하는 자기 변형 의 구성을 적용 할 수 있습니다 . 따라서 . 그런 다음 automorphism은 를 , 를 , 각 중간 정점 를$T$$|T|=2r$$|T|=2$$r$$T$$r$$2$$T=\{i,j\}$$a_i$$b_i$$a_j$$b_j$$S$$S\cap\{i,j\}=\emptyset$중간 정점 (이 예제에서 볼 수 있음) 및 와 같은 하위 집합 있음 (이 경우에 대해 볼 수 ). 인덱스 경우 , 와 이러한 스왑 된 정점 사이의 경계 관계 가 완전히 보존되고 사이의 경계 관계가 명확하게 유지 스와핑 프로세스는 자동 제대로 조정되었습니다.$S\cup \{i,j\}$$S$$S\cap \{i,j\}=\{i\}$$S\cap \{i,j\}= \{j\}$$k=3$$p\neq \{i,j\}$$a_p$$b_p$$a_i,a_j,b_i,b_j$

마지막으로 이것이 유일한자가 변형이라는 것을 알기 위해 각 는 고유 한 색상으로 표시됩니다. 따라서 다른 쌍 맵핑 될 수 없습니다 . 또한 를 와 않고 중간 정점을 중간 정점에 매핑하는 자동 . $a_i,b_i$$a_j,b_j$$a_i$$b_j$$\square$